A1－001 求一個四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字及后兩位數(shù)字分別相同，而該數(shù)本身等于一個整數(shù)的平方．

【題說】 1956年～1957年波蘭數(shù)學奧林匹克一試題1．

x＝1000a＋100a＋10b＋b

＝11（100a＋b）

其中0＜a≤9，0≤b≤9．可見平方數(shù)x被11整除，從而x被11²整除．因此，數(shù)100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b≤18，以a＋b＝11．于是x＝11²（9a＋1），由此可知9a＋1是某個自然數(shù)的平方．對a＝1，2，…，9逐一檢驗，易知僅a＝7時，9a＋1為平方數(shù)，故所求的四位數(shù)是7744＝88²．

A1－002 假設n是自然數(shù)，d是2n²的正約數(shù)．證明：n²＋d不是完全平方．

【題說】 1953年匈牙利數(shù)學奧林匹克題2．

【證】 設2n²＝kd，k是正整數(shù)，如果 n²＋d是整數(shù) x的平方，那么

k²x²＝k²（n²＋d）＝n²（k²＋2k）

但這是不可能的，因為k²x²與n²都是完全平方，而由k²＜k²＋2k＜（k＋1）²得出k²＋2k不是平方數(shù)．

A1－003 試證四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1的算術平方根仍為自然數(shù)．

【題說】 1962年上海市賽高三決賽題 1．

【證】 四個連續(xù)自然數(shù)的乘積可以表示成

n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n²＋3n）（n²＋8n＋2）

＝（n²＋3n＋1）²－1

因此，四個連續(xù)自然數(shù)乘積加上1，是一完全平方數(shù)，故知本題結論成立．
 A1－004 已知各項均為正整數(shù)的算術級數(shù)，其中一項是完全平方數(shù)，證明：此級數(shù)一定含有無窮多個完全平方數(shù)．