一、計(jì)算下面各題，并寫出簡(jiǎn)要的運(yùn)算過程（共15分，每小題5分）

　　二、填空題（共40分，每小題5分）

　　1.在下面的“□”中填上合適的運(yùn)算符號(hào)，使等式成立：

　　（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=1992

　　2.一個(gè)等腰梯形有三條邊的長(zhǎng)分別是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最長(zhǎng)的一條邊。那么，這個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)是__厘米。

　　3.一排長(zhǎng)椅共有90個(gè)座位，其中一些座位已經(jīng)有人就座了。這時(shí)，又來了一個(gè)人要坐在這排長(zhǎng)椅上，有趣的是，他無論坐在哪個(gè)座位上都與已經(jīng)就座的某個(gè)人相鄰。原來至少有__人已經(jīng)就座。

　　4.用某自然數(shù)a去除1992，得到商是46，余數(shù)是r。a=__，r=__。

　　5.“重陽節(jié)”那天，延齡茶社來了25位老人品茶。他們的年齡恰好是25個(gè)連續(xù)自然數(shù)，兩年以后，這25位老人的年齡之和正好是2000。其中年齡最大的老人今年____歲。

　　6.學(xué)校買來歷史、文藝、科普三種圖書若干本，每個(gè)學(xué)生從中任意借兩本。那么，至少____個(gè)學(xué)生中一定有兩人所借的圖書屬于同一種。

　　7.五名選手在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的選手得90分。那么得分最少的選手至少得____分，至多得____分。（每位選手的得分都是整數(shù)）

　　8.要把1米長(zhǎng)的優(yōu)質(zhì)銅管鋸成長(zhǎng)38毫米和長(zhǎng)90毫米兩種規(guī)格的小銅管，每鋸一次都要損耗1毫米銅管。那么，只有當(dāng)鋸得的38毫米的銅管為____段、90毫米的銅管為____段時(shí)，所損耗的銅管才能最少。

　　三、解答下面的應(yīng)用題（要寫出列式解答過程。列式時(shí)，可以分步列式，可以列綜合算式，也可以列方程）（共20分，每小題5分）

　　1.甲乙兩個(gè)工程隊(duì)共同修筑一段長(zhǎng)4200米的公路，乙工程隊(duì)每天比甲工程隊(duì)多修100米�，F(xiàn)由甲工程隊(duì)先修3天。余下的路段由甲、乙兩隊(duì)合修，正好花6天時(shí)間修完。問：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各修路多少米？

　　2.一個(gè)人從縣城騎車去鄉(xiāng)辦廠。他從縣城騎車出發(fā)，用30分鐘時(shí)間行完了一半路程，這時(shí)，他加快了速度，每分鐘比原來多行50米。又騎了20分鐘后，他從路旁的里程標(biāo)志牌上知道，必須再騎2千米才能趕到鄉(xiāng)辦廠，求縣城到鄉(xiāng)辦廠之間的總路程。

　　3.一個(gè)長(zhǎng)方體的寬和高相等，并且都等于長(zhǎng)的一半（如圖12）。將這個(gè)長(zhǎng)方體切成12個(gè)小長(zhǎng)方體，這些小長(zhǎng)方體的表面積之和為600平方分米。求這個(gè)大長(zhǎng)方體的體積。

　　4.某裝訂車間的三個(gè)工人要將一批書打包后送往郵局（要求每個(gè)包內(nèi)所

多35本。第2次他們把剩下的書全部領(lǐng)來了，連同第一次多的零頭一起，剛好又打11包。這批書共有多少本？

　　四、問答題（共35分）

　　1.有1992粒鈕扣，兩人輪流從中取幾粒，但每人至少取1粒，最多取4粒，誰取到最后一粒，就算誰輸。問：保證一定獲勝的對(duì)策是什么？（5分）

　　2.有一塊邊長(zhǎng)24厘米的正方形厚紙，如果在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)小正方形，就可以做成一個(gè)無蓋的紙盒。現(xiàn)在要使做成的紙盒容積最大，剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為幾厘米？（6分）

　　3.個(gè)體鐵鋪的金師傅加工某種鐵皮制品，需要如圖13所示的（a）、（b）兩種形狀的鐵皮毛坯。

　　現(xiàn)有甲、乙兩塊鐵皮下腳料（如圖14、圖15），圖13、圖14、圖15中的小方格都是邊長(zhǎng)相等的正方形。金師傅想從其中選用一塊，使選用的鐵皮料恰好適合加工成套的這種鐵皮制品（“成套”，指（a）、（b）兩種鐵皮同樣多），并且一點(diǎn)材料也不浪費(fèi)。問：（1）金師傅應(yīng)當(dāng)從甲、乙兩塊鐵皮下腳料中選哪一塊？（3分）

　�。�2）怎樣裁剪所選用的下腳料？（請(qǐng)?jiān)趫D上畫出裁剪的線痕或用陰影表示其中一種形狀的毛坯）（5分）

　　4.只修改21475的某一位數(shù)字，就可以使修改后的數(shù)能被225整除。怎樣修改？（6分）

　　5.（1）要把9塊完全相同的巧克力平均分給4個(gè)孩子（每塊巧克力最多只能切成兩部分），怎么分？（5分）

　　（2）如果把上面（1）中的“4個(gè)孩子”改為“7個(gè)孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，為什么？（5分）

　　詳解與說明

　　一、計(jì)算題

　　說明：要想得到簡(jiǎn)便的算法，必須首先對(duì)題中每個(gè)數(shù)和運(yùn)算符號(hào)作全面、

，馬上就應(yīng)該知道它可以化為3.6；而3.6與36只差一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，于是，又容易想到把“654.3×36”變形為“6543×3.6”，完成了這步，就為正

”采用了同樣的手段，這種技巧本報(bào)多次作過介紹。

　　說明：解這道題可以從不同的角度來觀察。解法一是先觀察、比較分子部分每個(gè)加數(shù)（連乘積）的因數(shù)，發(fā)現(xiàn)了前后之間的倍數(shù)關(guān)系，從而把“1×3×24”作為公因數(shù)提到前面，分母部分也作了類似的變形。而解法二，是著眼于整個(gè)繁分?jǐn)?shù)，由分子看到分母，發(fā)現(xiàn)分子部分的左、中、右三個(gè)乘

分子部分括號(hào)內(nèi)三個(gè)乘積的和約去了。本題是根據(jù)《數(shù)學(xué)之友》（7）第2頁例5改編的。

　　3.解法一：

　　解法二：

　　說明：解法一是求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的一般方法，這種方法本報(bào)217期第一版“好伙伴信箱”欄中曾作過介紹。由于本題中后一個(gè)加數(shù)總是前一個(gè)加數(shù)的一半，因而，只要添上一個(gè)最小的加數(shù)，就能湊成“2倍”，也就是它前面的一個(gè)加數(shù)，這就不難想到解法二。

　　二、填空題

　　1.解：（1×9×9+2）×（1+9-9+2）×（19-9-2）

　　=83×3×8

　　=1992

　　或（1×9×9＋2）×（1×9÷9×2）×（19-9+2）

　　=83×2×12

　　=1992

　�。ū绢}答案不唯一，只要所填的符號(hào)能使等式成立，都是正確的）

　　說明：在四個(gè)數(shù)字之間填上三個(gè)運(yùn)算符號(hào)，使它們的計(jì)算結(jié)果為某個(gè)已知數(shù)，這是選手們熟悉的“算式謎”題。而這道題卻不容易一下子判斷括號(hào)內(nèi)的計(jì)算結(jié)果應(yīng)該是多少，這就需要把1992分解為三個(gè)數(shù)連乘積的形式，1992=83×3×2×2×2，因?yàn)?3、3、2、2、2組成三個(gè)乘積為1992的數(shù)有多種組合形式，所以填法就不唯一了。

　　2.解：55+15+25×2=120（厘米）

　　說明：要算周長(zhǎng)，需要知道上底、下底、兩條腰各是多長(zhǎng)。容易判斷：下底最長(zhǎng)，應(yīng)為55厘米。關(guān)鍵是判斷腰長(zhǎng)是多少，如果腰長(zhǎng)是15厘米，15×2+25=55，說明上底與兩腰長(zhǎng)度之和恰好等于下底長(zhǎng)，四條邊不能圍成梯形，所以，腰長(zhǎng)只能是25厘米。讀者從本報(bào)190期第三版《任意三根小棒都能圍成三角形嗎》一文中應(yīng)當(dāng)受到啟發(fā)。

　　3.解：最少有

　　說明：根據(jù)題意，可推知這排長(zhǎng)椅上已經(jīng)就座的任意相鄰的兩人之間都有兩個(gè)空位。但僅從這個(gè)結(jié)果中還不能肯定長(zhǎng)椅上共有多少個(gè)座位，因?yàn)橐呀?jīng)就座的人最左邊一個(gè)（最右邊一個(gè)）既可以坐在左邊（右邊）起第一個(gè)座位上，也可以坐在左邊（右邊）起第二個(gè)座位上（如圖16所排出的兩種情況，“●”表示已經(jīng)就座的人，“○”表示空位）”。

　　不過，題目中問“至少”有多少人就座，那就應(yīng)選第二種情況，每三人（○●○）一組，每組中有一人已經(jīng)就座。

　�。�1）●○○●○○●……

　　（2）○●○○●○○●○……

　　圖16

　　4.解法一：由 1992÷46=43……14

　　立即得知：a=43，r=14

　　解法二：根據(jù)帶余除法的基本關(guān)系式，有

　　1992=46a+r（0≤r＜a）

　　由 r=1992-46a≥0，推知

　　由r=1992-46a＜a，推知

　　因?yàn)?a是自然數(shù)，所以 a=43

　　r=1992-46×43=14

　　說明：本題并不難，因此應(yīng)盡可能運(yùn)用簡(jiǎn)單的方法，迅速地算出答案。解法一是根據(jù) 1992÷a的商是 46，因而直接用 1992÷46得到了a和r。解法二用的是“估值法”。

　　5.解法一：先算出這25位老人今年的歲數(shù)之和為

　　2000-25×2=1950

　　年齡最大的老人的歲數(shù)為

　　[1950+（1+2+3+4+……+24）]÷25

　　=2250÷25

　　=90（歲）

　　解法二：兩年之后，這25位老人的平均年齡（年齡處于最中間的老人的年齡）為2000÷25=80（歲）

　　兩年后，年齡最大的老人的歲數(shù)為80+12=92（歲）

　　年齡最大的老人今年的歲數(shù)為92-2=90（歲）

　　說明：解法一采用了“補(bǔ)齊”的手段（詳見本報(bào)241期第一版《“削平”與“補(bǔ)齊”》一文）。當(dāng)然，也可以用“削平”法先求年齡最小的老人的歲數(shù)，再加上24。解法二著眼于 25人的平均年齡，先算年齡處于最中間的老人的歲數(shù)，算起來更簡(jiǎn)便些。

　　6.解：根據(jù)“抽屜原理”，可知至少7個(gè)學(xué)生中有兩人所借圖書的種類完全相同。

　　說明：本題是抽屜原理的應(yīng)用。應(yīng)用這個(gè)原理的關(guān)鍵是制造抽屜。從歷史、文藝、科普三種圖書若干本中任意借兩本，共有――（史，史）、（文，文）、（科，科）、（史，文）、（史，科）、（文，科）這六種情況，可把它們看作六只“抽屜”，每個(gè)學(xué)生所借的兩本書一定是這六種情況之一。換句話說，如果把借書的學(xué)生看作“蘋果”，那么至少7個(gè)蘋果放入六個(gè)抽屜，才能有兩個(gè)蘋果放在同一個(gè)抽屜內(nèi)。本題是由本報(bào)234期“奧林匹克學(xué)�！睌r的例2改換而成的。

　　7.解：得分最低者最少得

　　404-（90+89+88+87）=50（分）

　　得分最低者最多得

　　[404-90-（1+2+3）]÷4=77（分）

　　說明：解這道題要考慮兩種極端情形：

　　（1）要使得分最低的選手的得分盡可能地少，在五名選手總分一定的條件下，應(yīng)該使前四名領(lǐng)先于第五名的分?jǐn)?shù)盡可能多才行。第一名得分是已知的（90分），這就要求第二、三、四名的得分盡可能靠近90分，而且互不相等，只有第二、三、四名依次得89分、88分、87分時(shí)，第五名得分最少。

　�。�2）要使得分最低的選手得分最多，在總分和第一名得分一定的條件下，應(yīng)當(dāng)使第二、三、四、五名的得分盡可能接近。考慮到他們的得分又要互不相等，只有當(dāng)?shù)诙�、三、四、五名的得分為四個(gè)連續(xù)自然數(shù)時(shí)才能做到，用“削平”的方法可以算出第五名最多得多少分。

　　本題是根據(jù)《數(shù)學(xué)之友》（7）第46頁第13題改編的。

　　8.解：設(shè)38毫米、90毫米的銅管分別鋸X段、Y段，那么，根據(jù)題意，有

　　38X+90Y+（X+Y-1）=1000

　　39X+91Y=1001

　　要使損耗最少，就應(yīng)盡可能多鋸90毫米長(zhǎng)的銅管，也就是說上面式中的X應(yīng)盡可能小，Y盡可能大。由于X、Y都必須是自然數(shù)，因而不難推知：X=7，Y=8。即38毫米的銅管鋸7段，90毫米的銅管鋸8段時(shí)，損耗最少。

　　說明：選手們讀題之后，可以馬上想到：要使損耗最少，應(yīng)盡可能多鋸90毫米長(zhǎng)的銅管，但必須符合“兩種銅管都有”、“兩種銅管長(zhǎng)度之和加上損耗部分長(zhǎng)度應(yīng)等于1米”兩個(gè)條件，這樣算起來就不那么簡(jiǎn)單了。這種題目，借助等量關(guān)系式來進(jìn)行推理比較方便，不過，列方程時(shí)可別忘掉那損耗的1毫米，而且損耗了幾個(gè)“1毫米”也不能算錯(cuò)，應(yīng)該是“總段數(shù)-1”。

　　列出方程式之后，還有兩點(diǎn)應(yīng)當(dāng)講究：（1）變形要合理；（2）要選用簡(jiǎn)便算法。如上面解法中，把1001寫成7×11×13，39寫成3×13，91寫成7×13，使分子部分和分母部分可以約分，對(duì)于迅速推知最后結(jié)果是大有幫助的。

　　本題是《數(shù)學(xué)之友》（7）第51頁練習(xí)六中的原題。

　　三、應(yīng)用題

　　1.解法一：假設(shè)乙工程隊(duì)每天與甲工程隊(duì)修的路同樣多，那么兩隊(duì)一共修的路就要比4200米少600米，這3600米就相當(dāng)于甲工程隊(duì)用15天（15=3+6×2）修完的，列式為

　�。�4200-600）÷（3+6×2）

　　=3600÷15=240（米）

　　240+100=340（米）

　　解法二：設(shè)甲工程隊(duì)每天修路X米，那么乙工程隊(duì)每天修路“X+100”米，根據(jù)題意，列方程

　　3X+6×（X+X+100）=4200

　　解得X=240

　　從而 X+100=340（米）

　　答：甲工程隊(duì)每天修路240米，乙工程隊(duì)每天修路340米。

　　說明：“假設(shè)”是我們解應(yīng)用題時(shí)經(jīng)常采用的算術(shù)方法，它體現(xiàn)了機(jī)智、敏捷，能迅速得到答案。本題根據(jù)本報(bào)第234期第二版“思考題解答”一欄中的例題改編而成。

　　2.解：從題目可知，前 30分鐘行完總路程的一半，后 20分鐘沒有把另一半行完，比總路程的一半少2千米。換句話說，后20分鐘比前30分鐘少行了2000米。為什么會(huì)少行呢？原因有兩方面：（1）后20分鐘比前30分鐘少行10分鐘；（2）后20分鐘比前30分鐘每分鐘多行50米。這樣，容易推知前30分鐘里每10分鐘所行的路程是20×50+2000=3000（米）。前30分鐘每分鐘行3000÷10=300（米）總路程為

　　300×30×2

　　=18000（米）

　　答：縣城到鄉(xiāng)辦廠之間的總路程為18千米。

　　說明：解本題的關(guān)鍵是：（1）通過比較，知道這個(gè)人前30分鐘比后20分鐘多行多少路程；（2）找出前30分鐘比后20分鐘多行2000米的原因是什么。詳見本報(bào)209期《抓住矛盾找原因》一文。

　　3.解法一：設(shè)大長(zhǎng)方體左（右）面面積為X平方分米，則大長(zhǎng)方體表面積為10X。切成12個(gè)小長(zhǎng)方體后，新增加的表面積為

　�。�3X+2×2X）×2=14X

　　12個(gè)小長(zhǎng)方體表面積之和為

　　10X+14X=600

　　X=25

　　V=25×10=250（立方分米）

　　解法二：把大長(zhǎng)方體的表面積看作――“1”，則切成12個(gè)小長(zhǎng)方體后，

　　V=25×5×2=250（立方分米）

　　答：這個(gè)大長(zhǎng)方體的體積為 250立方分米。

　　說明：這道題比較簡(jiǎn)單，只要明白把一個(gè)幾何體切成兩部分后，“新增加的表面積等于切面面積的2倍”這個(gè)關(guān)系，不過，在計(jì)算新增加表面積時(shí)，稍不留心就會(huì)弄錯(cuò)。本題根據(jù)本報(bào)第226期第一版“教你思考”欄中的例題改編的。

　　又因?yàn)?0包+25本+35本←→11包

　　所以1包←→60本

　�。�14+11）×60=1500（本）

　　解法二：（列方程解）

　　則有 7X=14Y+35 （1）

　　5X=11Y-35 （2）

　�。�1）-（2），得ZX―3Y＋70 （3）

　�。�1）+（2），得12X=25Y （4）

　�。�3）×6，得12X=18Y+420 （5）

　　比較（4）、（5）兩式，有

　　25Y=18Y+420

　　解得Y=60

　　12X=25×60=1500（本）

　　答：這批書共有1500本。

　　說明：這道題目里的數(shù)量關(guān)系其實(shí)很容易看出，解法一幾乎是心算出結(jié)果的。所以，不能把問題想得很復(fù)雜。解法二比較容易想到，但設(shè)“未知數(shù)”也很有講究，如果設(shè)這批書有X本，變形就比較麻煩了。

　　四、問答題

　　1.答：保證一定獲勝的對(duì)策是：（1）先取1粒鈕扣，這時(shí)還剩1991粒鈕扣。（2）下面輪到對(duì)方取，如果對(duì)方取n粒（1≤n≤4），自己就取“5-n”粒，經(jīng)過398個(gè)輪回后，又取出398×5=1990（粒）鈕扣，還剩1粒鈕扣，這1粒必定留給對(duì)方取。

　　說明：本題只是把本報(bào)233期“奧林匹克學(xué)校”欄對(duì)策問題的“例1”改掉一個(gè)字――“勝”改為“輸”。一字之差，對(duì)策就要改變。我們知道，解對(duì)策問題有一個(gè)基本思路：把失�。ㄝ敚┑目赡芰艚o對(duì)手。本題中，誰取到最后一粒鈕扣誰就算輸，因而，要想獲勝，就必須搶到第1991粒。想到這一點(diǎn)，就容易找到保證獲勝的對(duì)策了。

　　2.答：剪去的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為4厘米。

　　說明：要回答這道題，可以先到一個(gè)表來比較一下。通過比較，容易知道剪去的小正方形邊長(zhǎng)是幾厘米時(shí)，做成的紙盒容積最大。

　　從上面表中一下子可以看出結(jié)果。

　　還可以設(shè)被剪去的小正方形邊長(zhǎng)（紙盒的高）為h，那么，紙盒底面邊長(zhǎng)為24-2h。它的容積為

　　因?yàn)?24-2h+24-2h+4h=48（定數(shù)），根據(jù)《數(shù)學(xué)之友》（7）第 23頁所介紹的結(jié)論，當(dāng)24-2h=4h時(shí)，（24-2h）×（24-2h）×4h乘積最大。也就是說，當(dāng)h=4時(shí)，V最大。

　　3.答：（1）應(yīng)選甲鐵皮料。

　�。�2）剪法如圖17。

　　說明：題中要求選一塊鐵皮料適合做“成套”的鐵皮制品，這就要求所選的鐵皮料中包含的（a）（b）兩種毛坯同樣多；又因?yàn)椴荒芾速M(fèi)材料，所以，只要算一算（數(shù)一數(shù)甲、乙兩塊材料中各有多少小正方形），看甲（或乙）材料中小正方形的總數(shù)能不能被（10+7=17）整除。

　　在回答第（2）個(gè)問題時(shí)，可以把（a）（b）兩塊毛坯拼成圖18，再根據(jù)上面所算出的結(jié)果，從中心處向四個(gè)方向剪開，就得到4個(gè)圖18的形狀。仔細(xì)觀察圖17，容易發(fā)現(xiàn)圖中的對(duì)稱美，這種美也能啟發(fā)你找到剪裁鐵皮的方法。

　　4.答：可以把“1”改為“0”，也可以把“4”改為“3”，還可以把“1”改為“9”，把“2”改為“1”。

　　說明：本題有四種符合要求的答案，就看你考慮問題是不是全面了。因?yàn)?25=25×9，所以要修改后的數(shù)能被225整除，就是既能被25整除，又能被 9整除。被25整除不成問題，末兩位數(shù)75不必修改，只要看前面三個(gè)數(shù)字。有2+1+4+7+5=19=18+1=27-8，不難排出上面四種答案。

　　5.答：（1）把9塊中的三塊各分為兩部分：

　　說明：這個(gè)分糖的問題很有趣。先得算一算，9塊糖平分給4個(gè)孩子，

因?yàn)轭}中有一句話限制了分的方法，這就是“每塊糖至多只能切成兩部分”。

注意這條“限制”。