例1 比較下面兩個積的大小：
A＝987654321×123456789，
B＝987654322×123456788.
分析 經(jīng)審題可知A的第一個因數(shù)的個位數(shù)字比B的第一個因數(shù)的個位數(shù)字小1，但A的第二個因數(shù)的個位數(shù)字比B的第二個因數(shù)的個位數(shù)字大1.所以不經(jīng)計算，憑直接觀察不容易知道A和B哪個大.但是無論是對A或是對B，直接把兩個因數(shù)相乘求積又太繁，所以我們開動腦筋，將A和B先進行恒等變形，再作判斷.
解： A＝987654321×123456789
＝987654321×（123456788＋1）
＝987654321×123456788＋987654321.
B＝987654322×123456788
＝（987654321＋1）×123456788
＝987654321×123456788＋123456788.
因為 987654321＞123456788，所以 A＞B.
例2 不用筆算，請你指出下面哪道題得數(shù)最大，并說明理由.
241×249 242×248 243×247
244×246 245×245.
解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷.
241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；
242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；
243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；
244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；
245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.
恒等變形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的積最大.
一般說來，將一個整數(shù)拆成兩部分（或兩個整數(shù)），兩部分的差值越小時，這兩部分的乘積越大.
如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5
則5×5＝25積最大.
例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五個數(shù)的總和.
解：五個數(shù)中，后一個數(shù)都比前一個數(shù)大10，可看出1986是這五個數(shù)的平均值，故其總和為：
1986×5＝9930.
例4 2、4、6、8、10、12…是連續(xù)偶數(shù)，如果五個連續(xù)偶數(shù)的和是320，求它們中最小的一個.
解：五個連續(xù)偶數(shù)的中間一個數(shù)應為 320÷5＝64，因相鄰偶數(shù)相差2，故這五個偶數(shù)依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.
總結以上兩題，可以概括為巧用中數(shù)的計算方法.三個連續(xù)自然數(shù)，中間一個數(shù)為首末兩數(shù)的平均值；五個連續(xù)自然數(shù)，中間的數(shù)也有類似的性質——它是五個自然數(shù)的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個數(shù)可以記作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此類推，對于奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)的平均值.
如：對于2n＋1個連續(xù)自然數(shù)可以表示為：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1， x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是這2n＋1個自然數(shù)的平均值.
巧用中數(shù)的計算方法，還可進一步推廣，請看下面例題.
例5 將1～1001各數(shù)按下面格式排列：
一個正方形框出九個數(shù)，要使這九個數(shù)之和等于：
�、�1986，②2529，③1989，能否辦到？如果辦不到，請說明理由.
解：仔細觀察，方框中的九個數(shù)里，最中間的一個是這九個數(shù)的平均值，即中數(shù).又因橫行相鄰兩數(shù)相差1，是3個連續(xù)自然數(shù)，豎列3個數(shù)中，上下兩數(shù)相差7.框中的九個數(shù)之和應是9的倍數(shù).
�、�1986不是9的倍數(shù)，故不行；
�、�2529÷9＝281，是9的倍數(shù)，但是281÷7＝40×7＋1，這說明281在題中數(shù)表的最左一列，顯然它不能做中數(shù)，也不行；
③1989÷9＝221，是9的倍數(shù)，且221÷7＝31×7＋4，這就是說221在數(shù)表中第四列，它可做中數(shù).這樣可求出所框九數(shù)之和為1989是辦得到的，且最大的數(shù)是229，最小的數(shù)是213.
這個例題是所謂的“月歷卡”上的數(shù)字問題的推廣.同學們，小小的月歷卡上還有那么多有趣的問題呢！所以平時要注意觀察，認真思考，積累巧算經(jīng)驗.
