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奧數(shù)探秘之極端原理

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 文章作者:網(wǎng)絡(luò)資源 2009-12-08 15:22:25

智能內(nèi)容

直接抓住全體對象中的極端情形或它們所具有的某種極端性質(zhì)加以研究、解決問題的思想方法稱為極端性原則。

  一、極端性原理:

  1.最小數(shù)原理、最大數(shù)原理

  命題一 有限個實數(shù)中,必有一個最小數(shù)(也必有一個最大數(shù)).

  命題二任意有限個兩兩不同的實數(shù)可以從小到大排列順序.上述兩個命題對無窮多個實數(shù)可能不成立,例如對于集合{2-n|n∈N},其中就沒有最小的數(shù).

  對于自然數(shù)集,有

  最小數(shù)原理 若M是自然數(shù)集N的任一非空子集(有限或無限均可),則M中必有最小的數(shù).

  2.最短長度原理

  最短長度原理1:任意給定兩點,所有連接這兩點的線中,以直線段的長度為最短;

  最短長度原理2:在連接一已知點和已知直線或已知平面的點的所有線中,以垂線段的長度為最短。

  二、典型例題

  (一)考慮問題的極端情形:

  引例:平面上有n個(n≥3)點,任三點不共線,證明:存在3點A、B、C,使其余n-3個點都在△ABC外面.

  例1 求證:在四面體ABCD中,必有某個頂點,從它發(fā)出的三條棱作為三邊可以構(gòu)成一個三角形。

  例2 給出平面的一個有限點集,點集中的點不全在一條直線上.證明:存在一條直線,只經(jīng)過點集中的兩個點.

  例3 平面上有n個紅點與n個藍點,任意三點都不共線.求證:可以用n條線段連結(jié)這2n個點,每條線段連結(jié)一個紅點與一個藍點,且這n條線段沒有公共點.

  例4 有n(n³3)個排球隊參加單循環(huán)賽 (排球賽的每場都要分出勝負) ,比賽結(jié)束后,發(fā)現(xiàn)沒有一個隊全勝.求證:必存在三個隊A,B,C,使A勝B,B勝C,C又勝A.

  例5 有n個男生,m個女生(n,m>1),每一個男生至少與一個女生彼此相識,每個女生不全認識n個男生,證明:他們當中,必有兩個男生和兩個女生,其中每個男生恰好認識其中一女生,其中每個女生恰好認識其中一男生。

  (二)逐步調(diào)整法

  例6 一群小孩圍坐一圈分糖果,老師讓他們先每人任取偶數(shù)塊糖,然后按下列規(guī)則調(diào)整:所有小孩同時把自己手中的糖分一半給右邊的小孩,糖塊變?yōu)槠鏀?shù)的人向老師要1塊糖.這算一次調(diào)整.證明:經(jīng)過有限次調(diào)整后,大家的糖就變得一樣多了.

  (三)無窮遞降法

  例7 若干個球裝在2n+1個口袋中,如果任意取走1袋,總可以把余下的2n袋分成兩組,每組n袋,并且這兩組的球的個數(shù)相等.證明:每個袋中的球的個數(shù)都相等.

  例8 試求方程x3-2y3-4z3=0的所有整數(shù)解.

  例9 設(shè)正整數(shù)n ,m滿足n>m,證明:存在的一種不等的倒數(shù)分拆,既存在自然數(shù)n1

  (四)構(gòu)造法與極端性原理

  例10 求最大的整數(shù)A,使對于由1到100的全部自然數(shù)的任意一排列,其中都有10個位置相鄰的數(shù),其和大于或等于A。

  例11 若平面上有997個點,如果每兩點連成一條線段,且中點染成紅色.證明:平面上至少有1991個紅點,你能找到恰有1991個紅點的特例嗎?

  (五)反證法與極端性原理

  例12 設(shè)a是大于1的自然數(shù),求證:a的所有正因數(shù)中,至少有一個是質(zhì)數(shù).

  例13 設(shè)f(n)是定義在自然數(shù)集上且取自然數(shù)值的嚴格單調(diào)遞增函數(shù),f(2)=2,當m,n互質(zhì)時,有f(mn)=f(m)f(n),求證:對一切自然數(shù)n,有f(n)=n。

  (六)幾個例題

  例14 已知 , ,…, 與 , ,…, 是2n個數(shù),且 2+ 2+…+ 2=1, 2+ 2+…+ 2=1,求證: , ,…,中存在一個值一定不大于1。

  例15 求證:單位長的任何曲線能被面積為 的閉矩形覆蓋。(美國普特南數(shù)學(xué)競賽題,1963年)

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