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奧數探秘之容斥原理

來源:網絡資源 文章作者:網絡資源 2009-12-08 15:23:11

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    在計數時,必須注意無一重復,無一遺漏。為了使重疊部分不被重復計算,人們研究出一種新的計數方法,這種方法的基本思想是:先不考慮重疊的情況,把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來,然后再把計數時重復計算的數目排斥出去,使得計算的結果既無遺漏又無重復,這種計數的方法稱為容斥原理。

  兩個集合的容斥關系公式:A∪B = A+B - A∩B

  三個集合的容斥關系公式:A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

  容斥原理(1)

  如果被計數的事物有A、B兩類,那么,A類或B類元素個數= A類元素個數+

  B類元素個數—既是A類又是B類的元素個數。

  例1

  一次期末考試,某班有15人數學得滿分,有12人語文得滿分,并且有4人語、數都是滿分,那么這個班至少有一門得滿分的同學有多少人?

  分析:依題意,被計數的事物有語、數得滿分兩類,“數學得滿分”稱為“A類元素”,“語文得滿分”稱為“B類元素”,“語、數都是滿分”稱為“既是A類又是B類的元素”,“至少有一門得滿分的同學”稱為“A類或B類元素個數”的總和。

  試一試:某班學生每人家里至少有空調和電腦兩種電器中的一種,已知家中有空調的有41人,有電容斥原理(2)

  如果被計數的事物有A、B、C三類,那么,A類或B類或C類元素個數= A類元素個數+

  B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數—既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+既是A類又是B類而且是C類的元素個數。

  例2某校六(1)班有學生54人,每人在暑假里都參加體育訓練隊,其中參加足球隊的有25人,參加排球隊的有22人,參加游泳隊的有34人,足球、排球都參加的有12人,足球、游泳都參加的有18人,排球、游泳都參加的有14人,問:三項都參加的有多少人?

  分析:仿照例1的分析,你能先說一說嗎?

  例3 在1到1000的自然數中,能被3或5整除的數共有多少個?不能被3或5整除的數共有多少個?

  分析:顯然,這是一個重復計數問題(當然,如果不怕麻煩你可以分別去數3的倍數,5的倍數)。我們可以把“能被3或5整除的數”分別看成A類元素和B類元素,能“同時被3或5整除的數(15的倍數)”就是被重復計算的數,即“既是A類又是B類的元素”。求的是“A類或B類元素個數”,F在我們還不能直接計算,必須先求出所需條件。1000÷3=333……1,能被3整除的數有333個(想一想,這是為什么?)同理,可以求出其他的條件。

  例4 分母是1001的最簡分數一共有多少個?

  分析:這一題實際上就是找分子中不能整除1001的數。由于1001=7×11×13,所以就是找不能被7,11,13整除的數。

  例5

  某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投擲三個項目的測試后,有4名學生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀,其余每人至少有一項達到了優(yōu)秀,達到了優(yōu)秀的這部分學生情況如下表:

  短跑 游泳 投擲 短跑、游泳 短跑、投擲 游泳、投擲 短跑、游泳、投擲

  1 7 1 8 1 5 6 6 5 2

  求這個班的學生共有多少人?

  分析:這個班的學生數,應包括達到優(yōu)秀和沒有達到優(yōu)秀的。

  試一試:一個班有42人,參加合唱隊的有30人,參加美術組的有25人,有5人什么都沒有參加,求兩種都參加的有多少人?

  例6

  在一根長的木棍上有三種刻度線,第一種刻度線將木棍分成10等份,第二種將木棍分成12等份,第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷,木棍總共被鋸成多少段?

  分析:很顯然,要計算木棍被鋸成多少段,只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻度線,在此基礎上加1就是段數了。

  若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開,木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的 11條刻度線,顯然刻度線有重復的,如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線,也是如此。所以,我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢?想一想,被計數的事物有那幾類?每一類的元素個數是多少?

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