巧分乳酪
來(lái)源：本站原創(chuàng) 2004-12-02 18:46:19
羅西豁然開(kāi)朗，悟到圓柱形乳酪是一個(gè)立體圖形，可以在中線(xiàn)處橫截一刀將其一切為二。如果允許移動(dòng)切開(kāi)的部分，那么連切三刀也行�？梢园训谝淮吻虚_(kāi)的兩塊迭放在一起，切第二刀成四塊，再把四塊跌放在一起，最后一刀切成八塊。羅西的解法是如此簡(jiǎn)單，幾乎可以說(shuō)是平凡的。然而它給人以明確的啟示：對(duì)于有意義的切分問(wèn)題，可以用有限差分演算進(jìn)行研究并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。有限差分演算是發(fā)現(xiàn)數(shù)字序列普通項(xiàng)公式的有力工具。今天，數(shù)字序列日益引起人們的興趣，因?yàn)樗哂袠O其廣泛的實(shí)際應(yīng)用范圍，還因?yàn)橛?jì)算機(jī)能夠以極快的速度執(zhí)行序列的運(yùn)算。
羅西第一次切乳酪的方法是在乳酪頂面的若干中線(xiàn)同時(shí)切數(shù)刀。乳酪具有如同薄餅?zāi)菢悠教沟捻斆妗Ｗ屛覀儊?lái)觀察一下，根據(jù)在一張薄餅上切數(shù)刀的過(guò)程，能夠生成一些什么數(shù)字序列。假如沿著薄餅若干中線(xiàn)同時(shí)切數(shù)刀，顯然，同時(shí)切 n 刀至多可以切出2n塊。
若在其邊沿為一條簡(jiǎn)單閉合曲線(xiàn)的任意平面上同時(shí)切下 n 刀，這種方法所切成的塊數(shù)，是否最多也是 2n塊呢？否�？梢噪S意畫(huà)出許多既非凸面，并且形狀各異的平面，即使一刀也可切成你所希望的塊數(shù)。能否畫(huà)出一種圖形，僅切一刀便可以切出任何有限數(shù)目的全等的塊？若能辦到，這種圖形的周長(zhǎng)應(yīng)具有什么特性，才能確保只需要一刀便可以切成全等的 n 塊？若不同時(shí)進(jìn)行切分，薄餅的切分將更為有趣。你很快會(huì)發(fā)現(xiàn)：僅當(dāng) n〉=3 時(shí)，切 n 刀方可切成不止 2n 塊。
這里，我們并不考慮所切成的塊是否全等或面積相同。當(dāng) n=1，2，3，4。。。時(shí)，可以切成的最多塊數(shù)分別是2，4，7，11。這一大家所熟悉的序列是根據(jù)下列公式求得的：
1+n（n+1）/2
其中，n 是所切的刀數(shù)。此序列的前10項(xiàng)（n 自0開(kāi)始）是1，2，4，7，11，16，22，29，37，46。。。
請(qǐng)注意，第一行差分是1，2，3，4，5，6，7，8，9。。。第二行差分是1，1，1，1，1，1，1，1，1，。。。
這強(qiáng)烈地暗示著此序列的普通項(xiàng)是一個(gè)二次項(xiàng)。
為什么說(shuō)“強(qiáng)烈暗示”呢？因?yàn)殡m然可以用有限差分演算找到一個(gè)公式，但是并不能保證該公式對(duì)于無(wú)限序列也成立。這一點(diǎn)尚需證明。在薄餅公式這一例子中，不難通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法做出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明。
從這點(diǎn)出發(fā)，你可以發(fā)現(xiàn)大量的引人入勝的研究方向，其中有許多將導(dǎo)致非同尋常的數(shù)字序列，公式以及數(shù)學(xué)歸納法證明。這里有一些問(wèn)題可供你作為初步嘗試。采用下列各種方法，最多可以切成幾塊？
1。在馬蹄形的薄餅上切 n 刀。
2。在球形或羅西所切的那種圓柱形乳酪上切 n 刀。
3。用切小圓甜餅的刀在薄餅上切 n 刀。
4。在狀如燭環(huán)狀（即中心有一個(gè)圓孔）的薄餅上切 n 刀。
5。在油炸圈（圓環(huán)）上切 n 刀。
關(guān)于以上這些問(wèn)題，假設(shè)切分是同時(shí)進(jìn)行的，若改成連切方式，并且允許重新安排切開(kāi)的部分，其答案如何變化？
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