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抓主干 降次分 巧數(shù)零

2005-09-27 23:11:50      下載試卷

計算若干個連續(xù)自然數(shù)乘積末尾零的個數(shù)是一類常見的題,也是失分率較高(易產(chǎn)生漏數(shù)零的個數(shù))的趣味賽題。那么,如何準確、迅速,不重不漏的數(shù)出乘積的末尾零的個數(shù)?抓主干、巧轉(zhuǎn)化,降次分離是方法。請看:

  例1 在算式11×20×29×…×2000中,相鄰兩個因數(shù)的差都等于9。那么,這個乘積的末尾連續(xù)的零的個數(shù)共有多少個?

  分析由于一個2與一個5配對相乘,就會使乘積末尾出現(xiàn)一個零(2×5=10)。因此,乘積的末尾連續(xù)的零的個數(shù)取決于乘積中因數(shù)2的個數(shù)及因數(shù)5的個數(shù)。

  由題知,算式中共有(2000-11)÷9+1=222個因數(shù)。其中奇、偶因數(shù)各占一半,而且相鄰兩個因數(shù)的差都為9,含有5因子的相鄰兩個因數(shù)的差都為(9×5=)45(如20、65、110等)。很顯然因數(shù)2的個數(shù)是足夠多的。只要我們抓主干的主干,作大化小、多化少的轉(zhuǎn)化,將因數(shù)末尾是0、5的數(shù)從算式中分離出來計數(shù):20、65、110、……、1955、2000中含有多少個因數(shù)5,問題即可獲解。

  解 ①11×20×29×38×…2000↓

  20×65×110×…×1955×2000(共有(2000-20)÷45+1=45個因數(shù),每個因數(shù)中分出一個5,可分出45個5。)

  =545×(4×13×22×…×391×400);↓

 、40×85×…×355×400

 。ü玻400-40)÷45+1=9個因數(shù),每個因數(shù)中分出一個5,可分出9個5。)

  =59×(8×17×26×35×…×80);↓

 、35×80=52×(7×16)

 。ù藭r只有2個因數(shù)且只含有2個5因子。)↓

  綜合以上3次分離計數(shù)積中共含有因數(shù)5為:45+9+2=56(個)。

  從而乘積末尾有56個連續(xù)的零。

  例2 一串數(shù)1、4、7、10、……、697、700的規(guī)律是:第一個數(shù)是1,以后的每一個數(shù)都等于它前面的一個數(shù)加3,直到700為止。將所有這些數(shù)相乘試求出所得數(shù)的尾部零的個數(shù)。

  解由題知1、4、7、10、……、697、700這一串數(shù)中,含5因子的數(shù)(除前3個1、4、7)每隔(3×5=)15個有一個,可分離列舉如下:

 、1×4×7×10×…×697×700

  10×25×40×…×685×700 ↓

 。ü玻700-10)÷15+1=47個因數(shù),每個因數(shù)分出1個5,可分出47個5)

  =547×(2×5×8×…×137×140); ↓

 、5×20×35×…×140

 。ü玻140-5)÷15+1=10個因數(shù),每個因數(shù)分出1個5,可分出10個5。)

  =510×(1×4×7×…×28)↓

 、10×25這兩個因數(shù)每個也可分出1個5,可分出2個5。↓

  =52×(2×5) ↓

 、5此時只有1個5因子。

  以上四次全部分出積中含有(47+10+2+1=)60個5因子。于是,1×4×7×10×…×697×700的積的

來源:網(wǎng)友投稿

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