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黎曼和黎曼猜想

來(lái)源:轉(zhuǎn)載 2008-03-19 10:07:13

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德國(guó)有名的數(shù)學(xué)家希爾伯特(DHibert 1862—1943)在老年時(shí)曾被人問(wèn)一個(gè)有趣的問(wèn)題:“假定你去世后一兩年能復(fù)活,您會(huì)做什么呢?”

希爾伯特回答:“我會(huì)先問(wèn)黎曼猜想是否已經(jīng)獲得解決了?”原來(lái)他在1900年把這問(wèn)題列為20世紀(jì)數(shù)學(xué)家所面對(duì)的一個(gè)重要難題,如果他死能復(fù)活,當(dāng)然關(guān)心的是這個(gè)問(wèn)題是否解決了。

黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826—1866)是生在現(xiàn)在德國(guó)漢諾瓦(Hannover)一個(gè)小鄉(xiāng)村(當(dāng)時(shí)那地區(qū)屬于大英帝國(guó))的清教徒家庭,他父親是當(dāng)?shù)氐哪翈煛?/font>

5歲時(shí)他喜歡歷史,對(duì)于古代戰(zhàn)爭(zhēng)有興趣,并且同情波蘭人被外國(guó)統(tǒng)治的命運(yùn)。過(guò)不久,他被數(shù)學(xué)所吸引,他自己也能出一些數(shù)學(xué)問(wèn)題給他的姐妹弟弟做(全家6個(gè)孩子,他排行第二。)

在學(xué)校讀書(shū)時(shí),他需要用德文和拉丁文寫(xiě)作文,可是他下筆很慢,常要涂改?墒撬跀(shù)學(xué)方面卻是出色的,在他去世之后他的中學(xué)數(shù)學(xué)老師薩馬福斯(Schmalfuss)回憶他在16歲時(shí)向他借書(shū)的故事:“他來(lái)向我借數(shù)學(xué)書(shū)看,并且很謙虛的說(shuō):‘我希望有一本并不太容易的書(shū)!抑肝視(shū)架上的書(shū),他選了法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德(Legendre)的《數(shù)論》,我對(duì)他說(shuō):‘試試看你能懂多少里面的東西!@是星期五的下午,就在下個(gè)星期四他把書(shū)帶回來(lái)。我問(wèn)‘你讀了多少?’他回答:‘這本書(shū)是寫(xiě)得非常奇妙,我已全部懂了!@之后他就沒(méi)再看這書(shū),以后在畢業(yè)考試時(shí)我拿勒灌德那本書(shū)里一些問(wèn)題來(lái)考他,他回答得非常好,好像是他專(zhuān)門(mén)讀那本書(shū)來(lái)準(zhǔn)備考試那樣子、數(shù)論是對(duì)他有特別的吸引力。這之后他讀了勒讓德寫(xiě)的幾何書(shū),并從我的圖書(shū)室里的幾何書(shū)上選了許多問(wèn)題來(lái)做。在中學(xué)時(shí)他已顯示出是一個(gè)數(shù)學(xué)家了。他具有強(qiáng)的直觀能力以及抽象推廣的能力!

19歲時(shí),他進(jìn)入哥庭根大學(xué)讀哲學(xué)和神學(xué),他的父親是希望他以后能成為一個(gè)傳教的牧師,可是他卻對(duì)數(shù)學(xué)非常有興趣,不但上了數(shù)學(xué)方程數(shù)值解的課及地磁學(xué),且從1846—1847年上了德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯(Gauss)的最小二乘法及史登恩(Stern)的定積分的課。

1847年他轉(zhuǎn)學(xué)到柏林大學(xué)去,在那里有三位著名的教授:賈可比(Jacobi)、狄利克雷(Lejeune Dirichlet)及史泰勒(Steiner),他在兩年中學(xué)習(xí)理論力學(xué),高等代數(shù),數(shù)論,積分論和偏微方程及橢圓方程。

在他回哥庭根準(zhǔn)備寫(xiě)博士論文時(shí),為了減輕父親經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān),他參加由高斯的朋友韋伯(Weber)等主持的數(shù)學(xué)物理研討會(huì)并當(dāng)韋伯的助手做一些物理實(shí)驗(yàn)及給一些初學(xué)物理的人講演。這些事使他花掉了一些時(shí)間,影響了他提早提出論文的,到了185111月,他呈上了《復(fù)變函數(shù)論的一般理論的基礎(chǔ)》。高斯對(duì)這論文評(píng)價(jià)極高,說(shuō)許多年來(lái)他就想寫(xiě)一份像這樣的論文。

黎曼在這時(shí)寫(xiě)信給他父親說(shuō):“呈上了這份完整的論文我希望能改善我的前途,我也希望在寫(xiě)這論文過(guò)程能訓(xùn)練我,使到我以后進(jìn)入社會(huì)可以寫(xiě)的更流利和迅速。我現(xiàn)在是感到很愉快!

1854年,黎曼成為哥庭根大學(xué)講師,三年后他成為助理教授,在1859年成為正式教授。可惜在1862年他患上肺病,必須常去意大利休養(yǎng)。而他在1866年時(shí)就死于意大利,年紀(jì)只不過(guò)

德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因(Klein)這樣的評(píng)價(jià)他:“黎曼具有很強(qiáng)的直觀,由這天份他超越了當(dāng)代的數(shù)學(xué)家,在他的興趣被激發(fā)的領(lǐng)域,他不管是否當(dāng)局會(huì)接受對(duì)這研究的肯定,也不讓傳統(tǒng)來(lái)誤導(dǎo)他!窳餍且粯映霈F(xiàn)然后消失,他活躍的時(shí)間只不過(guò)15年,1851年他完成論文,1862年他生病,1866年他去世!杪乃枷耄瑢(duì)現(xiàn)代函數(shù)論發(fā)展的影響是緩慢和逐漸的,他的工作不會(huì)在當(dāng)代引起突然的革命。這主要是由于黎曼的工作是不容易明白,另外是他提出的想法是非常新且奇特的!

黎曼猜想

現(xiàn)在來(lái)講他在1858年寫(xiě)的一篇只長(zhǎng)8頁(yè)關(guān)于素?cái)?shù)分布的論文,就在這論文里他提出了有名的黎曼猜想(Riemanns Hypoth-esis)。這猜想提出已有一百多年了,許多有名的數(shù)學(xué)家曾嘗試去證明,就像喜歡爬山的人希望能爬上珠穆朗瑪峰一樣——因?yàn)樗捻敺宸浅@щy到達(dá),目前已有人登上這世界高峰,可是卻沒(méi)有人能證明這猜想!

要說(shuō)明這猜想首先需談?wù)勥@問(wèn)題的來(lái)源。幾千年前人類(lèi)就已知道2,3,5,7,31,59,97這些正整數(shù)。除了1及本身之外就沒(méi)有其他因子,他們稱這些數(shù)為素?cái)?shù)(或質(zhì)數(shù)Prime number),希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德證明了在正整數(shù)集合里有無(wú)窮多的素?cái)?shù),他是用反證法證明、(讀者可以參看拙著:《數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的故事》第一集里這個(gè)證明。)

著名的原籍瑞士的數(shù)學(xué)家歐拉(Euler 1707—1783),在1737年給了歐幾里得定理的另外一個(gè)巧妙的證明。

人們?cè)缰老旅娴恼{(diào)和級(jí)數(shù)是不收斂(即和是無(wú)窮大)。

1737年左右歐拉引進(jìn)了齊打函數(shù)(Zeta function

如果令P表示所有的素?cái)?shù)集合,即歐拉發(fā)現(xiàn)對(duì)于S1,我們有

我們看到右邊如果展開(kāi),每一項(xiàng)是形如

的形狀,這里p1,p2,…,pr都是素?cái)?shù)。

由算術(shù)的基本原理,我們知道,任何正整數(shù)是能表示成素?cái)?shù)方的乘積,而這表示法是只有一種。

如果素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是有限,則當(dāng)s逐漸趨近于1時(shí),我們見(jiàn)到

由此可知素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)不可能是有限的。

1858年黎曼在他寫(xiě)的唯一一篇關(guān)于數(shù)論的文章里把齊打函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域上,他要研究什么樣的復(fù)數(shù)s,能使ζ(s=0,他在文章里給出了下面著名的猜想:“所有的非實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)s使得ζ(s

 

哈地及黎曼猜測(cè)

英國(guó)著名的數(shù)學(xué)家哈地(GHHardy 1877—1947)是華羅庚在英國(guó)劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)論時(shí)的指導(dǎo)教授。

英國(guó)自從出現(xiàn)牛頓以后,一向來(lái)數(shù)學(xué)工作者是注重應(yīng)用數(shù)學(xué),它的數(shù)學(xué)家不像歐陸的德國(guó)和法國(guó)在純粹數(shù)學(xué)上有大的貢獻(xiàn)和新的發(fā)現(xiàn),至到19世紀(jì)末出了哈地之后,哈地以他在純數(shù)學(xué)的工作使英國(guó)聞名于世。

哈地先后在牛津和劍橋大學(xué)教書(shū),他為了研究數(shù)學(xué)從來(lái)不想到成家,而是由妹妹照顧他。他個(gè)性是有些怪,在那宗教勢(shì)力濃厚的學(xué)府里敢公然說(shuō):“上帝是我的敵人!彼麖牟惶みM(jìn)教堂,也不參予有宗教色彩儀式的會(huì)議。

哈地是一個(gè)“板球(Cricket)迷”,每年夏天要等到板球季節(jié)過(guò)了,才會(huì)跑到歐陸度假,拜訪他的幾個(gè)好朋友與他們一起討論研究數(shù)學(xué)。

每次到丹麥就會(huì)見(jiàn)他的好朋友波爾(Harald Bohr),他們坐下來(lái),先在一張紙上寫(xiě)上先要解決和討論的一些議程,然后討論一個(gè)小時(shí)后才一起出去散步。每一次見(jiàn)面時(shí)哈地在議程的第一條往往寫(xiě)上:“證明黎曼假設(shè)!”

可是這個(gè)提議卻一直沒(méi)法子解決,一直到夏假結(jié)束他必須回去英國(guó)教書(shū)才作罷。第二年的夏天他回來(lái)丹麥又像前一年那樣,兩人每天把解決黎曼假設(shè)擺在議程的最前面,但是每次都不能解決。

有一年的夏末,哈地要乘船渡北;赜(guó),那天浪濤洶涌天氣很惡劣,而船又很小,因此他在船開(kāi)之前就寫(xiě)了一張明信片寄給波爾,在上面簡(jiǎn)單的寫(xiě)下這幾個(gè)字:“我已經(jīng)證明了黎曼假設(shè)。哈地!

他是否真的證明了,要把這個(gè)好消息告訴他的好友呢?原來(lái)這明信片是有用意的:萬(wàn)一這船沉下去,哈地溺死了,世人就會(huì)認(rèn)為哈地真的解決這個(gè)世界上的數(shù)學(xué)難題,而為這個(gè)解法及哈地一起埋在海底而惋惜。但是上帝既然是哈地的仇人,一定不會(huì)讓哈地享有解決這個(gè)著名難題的聲譽(yù),因此本來(lái)這船該沉下去,它也設(shè)法不讓它沉,于是哈地可以平安回到英國(guó)。這樣這個(gè)明信片就是他的救命護(hù)身符了。

你看了或許會(huì)笑,以為我們的哈地教授是這樣幼稚可笑的人物,是的,有一些數(shù)學(xué)家他們想法和做事的天真幼稚就像6歲的兒童?墒撬麄冄芯康臇|西卻深入和奧妙,不是普通人所能了解的。哈地逝世距現(xiàn)在已四十多年,但是他遺留下來(lái)的工作,許多是那么的艱深和難于明白,普通大學(xué)數(shù)學(xué)系畢業(yè)生也不是很容易就能領(lǐng)會(huì)。

這結(jié)果是非常的漂亮。

貧病而逝的英才

中國(guó)的古人曾說(shuō)“人窮而工其文”,我們的黎曼也可以印證這句話的正確性。

在一百多年前的德國(guó)大學(xué),只有正式的教授才領(lǐng)政府的津貼,及開(kāi)正規(guī)的課程,由此可以收學(xué)生交的學(xué)費(fèi)。黎曼在1854年成為哥庭根大學(xué)的講師(Privatdozent),他可以開(kāi)課,可是學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的不太多,而且他得不到政府的任何津貼,因此他的生活是很貧苦的。他的父親是清貧的小鄉(xiāng)村牧師也不可能對(duì)他經(jīng)濟(jì)上有什么幫助,盡管他常因貧窮而生病,可是他仍頑強(qiáng)的在數(shù)學(xué)上鉆研,不因健康和經(jīng)濟(jì)而動(dòng)搖對(duì)研究的愛(ài)好。

1855年他的老師高斯去世了,由狄利克雷繼承高斯的教職。狄利克雷很重視黎曼的工作,極力向政府爭(zhēng)取給予黎曼一些津貼,最后總算得到了等于正式教授的薪水津貼的十分之一。這對(duì)黎曼的生活稍有改善。

這段期間黎曼在復(fù)變函數(shù)論上作出許多重要的發(fā)現(xiàn),1859年對(duì)他頗照顧的狄利克雷去世,他的職位由黎曼繼承。這時(shí)他的經(jīng)濟(jì)稍微好些,但身體卻因長(zhǎng)期營(yíng)養(yǎng)不良及工作勞累健康是損壞了。

1862年他和一個(gè)朋友的妹妹結(jié)婚,第二年生下一個(gè)女兒,可是肺病卻蠶食他的生命,在1866720日在意大利Mag-giore湖畔的Selasca去世。在他死之前他還很樂(lè)觀勇敢的工作。

現(xiàn)在在大學(xué)課程的復(fù)變函數(shù)論的基本定理,分析學(xué)上的黎曼積分!黎曼曲面的概念都是他重要的發(fā)現(xiàn)。他本身對(duì)物理學(xué)也很有興趣,曾寫(xiě)了一些關(guān)于熱、電、磁和流體力學(xué)的論文。

他對(duì)數(shù)學(xué)的影響是無(wú)可估量的。讀者如果想對(duì)他的工作有一點(diǎn)認(rèn)識(shí)可以看1953Dover Publications出版的《黎曼選集》(The Collected Works of Bernhard Riemann

近年對(duì)黎曼假設(shè)的研究

荷蘭三位數(shù)學(xué)家Jvan de LuneHJRiele teDTWinter利用電子計(jì)算機(jī)來(lái)檢驗(yàn)黎曼的假設(shè),他們對(duì)最初的二億個(gè)齊打函數(shù)的零點(diǎn)檢驗(yàn),證明黎曼的假設(shè)是對(duì)的,他們?cè)?/font>1981年宣布他們的結(jié)果,目前他們還繼續(xù)用電子計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)底下的一些零點(diǎn)。

198211月蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬帝葉雪維奇在蘇聯(lián)雜志《Kibernetika》宣布,他利用電腦檢驗(yàn)一個(gè)與黎曼猜想有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,可以證明該問(wèn)題是正確的,從而反過(guò)來(lái)可以支持黎曼的猜想很可能是正確的。

1974年美國(guó)麻省理工學(xué)院的萊文森在他患癌癥去世前證明了這樣的

190年中國(guó)數(shù)學(xué)家樓世拓、姚琦對(duì)萊文森的工作有一點(diǎn)改進(jìn),他們證明了NoT)>0.35NT)。 

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