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小學(xué)生趣味數(shù)學(xué)題二百(二倍二倍快躲開)

2009-02-19 18:46:19      下載試卷

  小明和小亮兩個人玩撲克牌,又發(fā)明一種新花樣,叫做“二倍二倍快躲開”。

  從一副撲克牌里,每人各拿出12張:A、2、3、45、6、7、8、9、 10JQ各一張,小明全拿黑桃,小亮全拿紅桃。A1點,J 11點,Q12點。這樣,每人就都擁有一套從1點到12點的

  牌,拿紅牌的是紅方,拿黑牌的是黑方。

  玩的時候,每人把自己的12張牌打亂順序,背朝上,排在自 己面前。兩個人輪流翻牌。如果自己翻出的牌里,任何兩張的點 數(shù)都沒有二倍關(guān)系,就是成功的,可以繼續(xù)翻牌,也可以停止翻 牌,做成一組成功的牌。誰翻的牌里最先出現(xiàn)二倍關(guān)系,誰就輸 掉了這一盤。

 

  例如,在兩人都翻開4張后,戰(zhàn)局如圖1。

  這時小亮的牌里,105的二倍,小亮輸了。

  如果兩個人各自做成一組成功的牌,就比誰的點數(shù)大,點數(shù) 大的人勝利。如果點數(shù)相等,就成為平局。

  又如,有一次,兩人都翻開3張以后,得到圖2所示的戰(zhàn)局。

 

  這時小明停止翻牌,做成了一組,點數(shù)是

981027。

  小亮趕緊也算一算自己的點數(shù):

810725! 

  如果小亮也停止翻牌,就比小明少2點,輸定了。若是再翻一張 牌呢,如果翻到4,那么在翻出的牌里,84的二倍,就輸了; 如果翻到5,那么105的二倍,也輸了。但是翻到其他牌都會 增加分數(shù),可能超過對手。

  有成功的機會,就該試一試。于是小亮再翻一張牌,結(jié)果翻 到的是3,成功!點數(shù)增加為 

25328,

  超過小明的27,贏了這一盤。

  有一次兩個人越翻越起勁,都翻出了8張。局面是這樣的。

  小明:23,5,7,8,9,1112;

  小亮:1,3,4,7,910,11,12。

  這時兩個人的牌里都沒有二倍關(guān)系,都是成功的。算一算點數(shù),得到

  小明:235789111257;

  小亮:1347910111257

  兩人的分數(shù)相等。小明停止翻牌,小亮也停止翻牌,握手言和。

  為什么兩個人都小心翼翼,不再翻牌呢?難道不想取勝嗎?

  原來,玩這種“二倍二倍快躲開”的游戲,有一個規(guī)律:最多只可能翻出8張成功的牌。如果冒險翻第9張牌,就怎么也躲不開二倍關(guān)系,必輸無疑。這是在數(shù)學(xué)里已經(jīng)證明了的,因為這種撲克游戲來源于一道數(shù)學(xué)競賽題。這是小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克邀請賽的一道初賽試題,是填空題,原題如下:

  1、2、3、4、5、6、78、910、1112中至多能選出____ 數(shù),使得在選出的數(shù)中,每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的2倍。

  答案是8個數(shù)。

  從上面小明和小亮的牌局里,已經(jīng)看到能選出8個數(shù)的兩 組實例。為什么選9個就一定出現(xiàn)二倍關(guān)系呢?

  首先考慮那些肯定不會有二倍關(guān)系的數(shù)。它們是:

7,911

  3個數(shù)可以全部選出來。

  其次,有兩個數(shù)組成一對二倍關(guān)系的小圈子,它們是:

(510)

  所以,在510這兩個數(shù)里,可以選出1個,也只能選出1 個。

  再其次,有3個數(shù)組成兩對二倍關(guān)系,它們是:

(36),(612)。

  所以,在3個數(shù)36、12中,至多可以選出兩個數(shù)312。

  最后,還剩下4個數(shù),它們組成二倍關(guān)系的連環(huán)套:

(12),(2,4)(4,8)。

  所以,在4個數(shù)1、2、4、8中,至多可以選出兩個數(shù),或者是14,或者是28,或者是18。

  總而言之,不含二倍關(guān)系,至多可選出的個數(shù)是

31228()。

  這正是問題所需要的答案。同時也確定了全部不含二倍關(guān)系的8數(shù)組,它們是:

  79,11;3,125;14。

  79,11;3,125;28。

  7,9,113,12;51,8。

  79,113,1210;1,4。

  7,9,113,1210;28。

  79,11;3,12;10;1,8。

  其中第⑤組各數(shù)的和最大,和是62?梢娫趽淇擞螒“二 倍二倍快躲開”里,勝利者能取得的最高點數(shù)是62。

來源:網(wǎng)絡(luò)

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