第二回  甲骨泥版  共創(chuàng)數(shù)學(xué)紀(jì)元

　　        竹簡(jiǎn)紙草  同著算術(shù)春秋

　　一塊古巴比倫泥版上刻滿了畢氏三數(shù)，可惜殘缺不全，留下千古之謎。中國(guó)的陳子膽子倒確實(shí)不小，居然測(cè)量起太陽(yáng)的直徑，用的僅是根竹竿！埃及的神廟，夏至?xí)r陽(yáng)光能直射神像，善男信女驚異不已。

　　且說(shuō)這西方學(xué)界，一直認(rèn)為埃及的古代數(shù)學(xué)是希臘文明繁榮之前，水平最拔尖的，待到巴比倫的泥版問(wèn)世，方知更技高一籌；更不需說(shuō)他們對(duì)古華夏的數(shù)學(xué)成就一無(wú)所知了。這里先談一番巴比倫。

　　這巴比倫人居住在美索不達(dá)米亞。“美索不達(dá)亞”是古希臘語(yǔ)，意思是兩河之間的地方。這兩條河就是底格里斯河和幼發(fā)拉底河。

　　兩河流域最早的文明大約至少有六千多年了。這塊地方大致以今天的巴格達(dá)城為界，分為南北兩部。北部以古亞述城為中心，稱為西里西亞；南部以巴比倫城為中心，稱為巴比倫尼亞。各個(gè)民族居住在一些獨(dú)立的城邑中。

　　這南部主要有蘇美爾人、阿卡德人。美索不達(dá)米亞文明最初就是蘇美爾人創(chuàng)造出來(lái)的。

　　蘇美爾人幾乎和埃及人同時(shí)發(fā)明了文字。這就是大名鼎鼎的楔形文字了。

　　上個(gè)世紀(jì)開始，考古學(xué)家們?cè)诿浪鞑贿_(dá)米亞進(jìn)行大規(guī)模的發(fā)掘。

　這里的房屋幾乎一直都是有土坯蓋起來(lái)的，有點(diǎn)像北方的干打壘。下一次大雨自然要沖毀一些，就在舊屋子上面又造新屋。這樣蓋了塌，塌了蓋，最后就形成了一個(gè)個(gè)土丘。把這些個(gè)土丘直直地挖下去，就會(huì)看到這個(gè)城市從古到今一層一層地分得很清楚，真好像一塊歷史的千層餅。

　考古學(xué)家們?cè)谶@塊千層餅里細(xì)剔細(xì)篩，發(fā)現(xiàn)了五十萬(wàn)塊寫有文字的粘土?xí)�板，僅僅在古代尼普爾這個(gè)地方就出土了五萬(wàn)塊！

　　許多的國(guó)家，許多的博物館、文物館，那是聞風(fēng)而動(dòng)，千方百計(jì)各種途徑，收藏這些珍貴的文物。有時(shí)，同一塊泥版會(huì)分成幾塊，藏在不同的博物館里。

　　這些泥版有大有小。大的呢，也就和教科書差不多，小的只有巴掌那么大吧。有時(shí)書板的一面有字，有時(shí)又是兩面都有字。想必做這樣一本書也不容易，要節(jié)約用紙。

　現(xiàn)在流傳問(wèn)世的，大約有三四百塊和數(shù)學(xué)有關(guān)的泥版和一些碎片。泥版上沒(méi)有什么年代的記號(hào)，學(xué)者只能根據(jù)它們?cè)谇�層餅中的位置�?lái)推斷啦。他們發(fā)現(xiàn)，大部分泥版是在3000年以前的若干世紀(jì)內(nèi)制作的，前后延續(xù)有2000年左右。還有一小部分是公元前600年到公元300年間制作的。這兩部分之間留下了很大的一段空檔，正是巴比倫歷史上的一個(gè)動(dòng)亂時(shí)期。

　看來(lái)，巴比倫的數(shù)學(xué)創(chuàng)立得十分迅速。而在這短暫的迅速發(fā)展之后，接下來(lái)的卻是長(zhǎng)時(shí)期的停滯不前。

　要想破譯這泥版的內(nèi)容，可就比斷定它們的年代更難啦。一直到 1935年，經(jīng)過(guò)諾伊格爾和吐婁——當(dāng)蘭的著名發(fā)現(xiàn)，人們才了解了不少數(shù)學(xué)書板上的內(nèi)容。

　　許多早期的書板，都是有關(guān)田地轉(zhuǎn)讓的計(jì)算。還有不少是一些契約文書，像帳單、收條啦、期票啦、賣貨的單據(jù)、商號(hào)和帳目等等。

巴比倫人的計(jì)算倒是挺有意思，是借助各種各樣的表來(lái)實(shí)現(xiàn)的。在數(shù)學(xué)泥版中，大約有200塊是表，有乘法表，倒數(shù)表，平方表和立方表，甚至還有指數(shù)表。

　接下來(lái)，咱們拿一塊巴比倫泥版來(lái)試看破譯一下，和大伙一起暫時(shí)當(dāng)一次考古研究者。當(dāng)然，現(xiàn)在我們?cè)缫丫椭�道一些謎底了，猜起來(lái)可就要比那些先驅(qū)者容易多了。

　　我們現(xiàn)在看到的就是一塊古代巴比倫泥版了（見(jiàn)下圖）。正確點(diǎn)說(shuō)，是它的一個(gè)復(fù)制品。左面是正面，右面是反面，兩面都刻有字。

　　首先我們數(shù)一數(shù)行數(shù)，一共有24行。每一面呢，都有兩列，我們把它分別叫做第Ⅰ列（左邊的）和第Ⅱ列。
　　現(xiàn)在我們從第1列開始正式考察。

　　它的第一行是一個(gè)垂直的楔形，我們把它叫“直楔”。第二行就是兩個(gè)直楔了。第三行呢，是三個(gè)。其實(shí)這些記號(hào)咱們都碰過(guò)面，就是沒(méi)碰過(guò)面大家也能猜出來(lái)：不就是1、2、3嘛！

　順下來(lái)的幾行也很容易，就是從4到9，只要數(shù)一數(shù)直楔的個(gè)數(shù)就成了。不過(guò)大家看到它們有時(shí)是三個(gè)一組的，這么一來(lái)就更容易讀了。比如 8，寫成三層，兩層各有三個(gè)直楔，一層有兩個(gè)，一眼望過(guò)去，就知道是多少。這開頭的九行倒很順利，咱們破譯初步成功。

　再往下看，到9后面，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新記號(hào)：“■”，我們把它叫做“角楔”。

　　我們當(dāng)然首先想到這應(yīng)該是 10，不過(guò)還要謹(jǐn)慎一些，看看能不能往下順。如果在下面的幾行中把它看作10也正確，那么猜想就對(duì)了。

　接下去的幾行確實(shí)令人很高興，沒(méi)費(fèi)周折，我們可以認(rèn)出 11，12，13，……，18。再往下應(yīng)該是19，從規(guī)律和書寫的情況來(lái)看，肯定是19，只不過(guò)有一些涂改的痕跡，可能是這位巴比倫人寫得有點(diǎn)不耐煩了，筆劃太多。

　　再往下也沒(méi)什么難懂得的，是20，30，40和50。

　這么一來(lái)，我們就破譯出第Ⅰ列，這一列順序?qū)懗隽?到20，然后是30，40，50。直楔代表l，而一個(gè)角楔代表10。

　　現(xiàn)在咱們要擴(kuò)大戰(zhàn)果，把我們的發(fā)現(xiàn)用到第Ⅱ列上。

　　開頭的幾行當(dāng)然暢行無(wú)阻，是 9，18，27，36，45，54。咱們把它們和第Ⅰ列中同一行的數(shù)一聯(lián)系，竅門就看出來(lái)了，這不就是九的乘法表嘛！

　　再往下，第七行、第八行當(dāng)然應(yīng)該是63和72。但是第七行寫的是：

　　那右邊一塊堆的三個(gè)直楔自然是3，那么60又在哪呢？好像把最左邊的那個(gè)大一點(diǎn)的直楔認(rèn)作是60才妥當(dāng)。

　　這樣看來(lái)，同樣都是直楔，放的位置不同，表示的數(shù)也不一樣；這正是前面說(shuō)過(guò)的位值記數(shù)法。不過(guò)咱們?cè)谶@向左移一移，不是變成 10，而是 60了！這是不是“逢六十進(jìn)一”呢？

　　這泥版上的63，我們用現(xiàn)在的符號(hào)寫一下，就是1，3＝１×60＋3＝63。記住，我們這里用逗號(hào)把兩個(gè)數(shù)符分開，表示兩個(gè)數(shù)位。就像十進(jìn)制中的個(gè)位和十位一樣。只不過(guò)“個(gè)”位的單位當(dāng)然是１，這里的“十”位的單位可就是60了。

　　下面可就勢(shì)如破竹了，咱們可以把它們改寫成：l，12＝1×60＋12＝72；

　　1，21＝1×60＋21＝81；

　　1，30＝90；1，39＝99；

　　l，48＝90；1，57＝117。

　　所有這一切都說(shuō)明咱們一開始就猜對(duì)了；這塊泥塊果然是九的乘法表。

　　咱們當(dāng)然把它改寫為2，6＝2×60＋6＝126，這 126，不就是 14 乘以 9的答案嘛！

　　以下的幾行當(dāng)然不難改寫成：

　　2，15＝2×60＋15＝135，

　　2，24＝144，

　　2，33＝153，

　　2，42＝162，

　　2，5l＝171。

　　值得注意的是，我們需要把逗號(hào)右邊的那些數(shù)，比如 15 啦，24 啦，33啦等等，看作是一位數(shù)！是巴比倫人用的六十用制中的個(gè)位數(shù)。盡管這里用十進(jìn)制表示出來(lái)是兩位，但在六十進(jìn)制中，是一位，是用一個(gè)完整的獨(dú)立的符號(hào)表示的。

　　所以，六十進(jìn)制中記數(shù)的符號(hào)一共要有從0到59這六十個(gè)符號(hào)。而十進(jìn)制位值記數(shù)法，則是用從0到9這十個(gè)符號(hào)。

　　不難理解，b進(jìn)制記數(shù)法就應(yīng)該用從0到b—1這b個(gè)記數(shù)符號(hào)。比如現(xiàn)在電腦中常用的二進(jìn)制，只用0，l這兩個(gè)符號(hào)。十六進(jìn)制也是電腦中常用的記數(shù)法。只用 0 到 9 這十個(gè)符號(hào)就不夠了，所以又添了 A、B、C、D、E、F這六個(gè)符號(hào)表示10到15這六個(gè)數(shù)。因?yàn)檫@六個(gè)數(shù)還不夠資格向前進(jìn)位，只能在低一位上用一個(gè)符號(hào)表示出來(lái)。

　　比如15，十六進(jìn)制中就寫成F。而 2B這個(gè)十六進(jìn)制數(shù)，就等于2×16＋ll＝43。

　　不過(guò)看起來(lái)好像巴比倫人只有從1到59這五十九個(gè)符號(hào)，少了個(gè)0。我們仔細(xì)看一下2，51后面的那個(gè)數(shù)就可以知道，它是三個(gè)直楔，后面空了格。

　　想必那空的一格表示0，這樣這個(gè)數(shù)就是3，0＝3×60＋0＝180。下面的幾行也很容易破譯。咱們就請(qǐng)朋友們自便吧。

　　像上面一樣，1，25，30 這個(gè)巴比倫數(shù)就是個(gè)三位數(shù)，其中的 25 和 30都看作是一位。它應(yīng)該是

　　不過(guò)因?yàn)榘捅葌愒缙谟每崭癖硎玖�，這空到底是空一格還是空兩格，還是不空格，就比較模糊。所以，l，25，30也可以看作是1，25，30，0或者是1，25，30，0，0。

　　你瞧，把這個(gè)數(shù)向左移動(dòng)一位，就擴(kuò)大了60倍。這也與十進(jìn)位差不多。

　　十進(jìn)位中，一個(gè)數(shù)向左移動(dòng)一位，就擴(kuò)大了10倍。60 和 10 分別是六十進(jìn)制和十進(jìn)制中的“基”。所以，把一個(gè)二進(jìn)制數(shù)

　　向左移動(dòng)一位，就擴(kuò)大2倍；把一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)向左移動(dòng)一位，就擴(kuò)大了16倍。

　　因?yàn)橛每崭癖硎玖惚容^模糊，所以把一個(gè)數(shù) 1，25，30 看作是 l，25，30，0還是1，25，30，0，0就要根據(jù)上下文來(lái)確定。

　　在后期的泥版中，巴比倫人也偶爾用一個(gè)記號(hào)表示零，這樣就比較方便了。

　　這六十進(jìn)位與十進(jìn)位的明顯差別首先自然是基底不一樣，一個(gè)是60，一個(gè)是10。

　　當(dāng)然，每種基底都有自己的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。以 60為基底的只有很少幾位就能寫出很大的數(shù)，這在上面大家已經(jīng)看得很清楚；而以二為基底的二進(jìn)制數(shù)，我們以前的已經(jīng)說(shuō)過(guò)，同一個(gè)數(shù)用二進(jìn)制比用十進(jìn)制，位數(shù)要多得多。

　　不過(guò)這基底較大，缺點(diǎn)也很明顯。比如說(shuō)二進(jìn)制，只有兩個(gè)數(shù)碼就成；六十進(jìn)制呢，得用六十個(gè)不同的符號(hào)，可真夠難記的。

　　這且不說(shuō)，尤其難的是它的乘法口訣。十進(jìn)制中叫“九九表”，因?yàn)樗�有九九八十一句口訣。為什么要九九八十一句呢？因?yàn)槭�進(jìn)制中一位數(shù)只有從1到9九種情況（不連零）。

　　問(wèn)題到了六十進(jìn)制那地方，可就麻煩大了。六十進(jìn)制中一位數(shù)有59種情況！所以它的乘法口訣共有59×59句！近3600句！太難記了。

　　人們想到可憐的巴比倫學(xué)童們背這么一張 59×59 的大表可能會(huì)不寒而栗�？磿�的同學(xué)大概也很慶幸自己沒(méi)有出生在偉大的巴比倫時(shí)代，盡管那兒有舉世聞名的空中花園。

　　有過(guò)好在那時(shí)已經(jīng)有了各種類型的大量數(shù)表，不必要再去死記硬背了。利用數(shù)表來(lái)進(jìn)行計(jì)算正是巴比倫的特點(diǎn)，巴比倫的創(chuàng)造。

　　在巴比倫的泥版中有許多“倒數(shù)表”。這所謂倒數(shù)表，也就是一些分子為1的分?jǐn)?shù)。不過(guò)在他們那兒是用六十進(jìn)制表示的。

　　這樣一來(lái)，巴比倫就能做整數(shù)除以整數(shù)的除法了。比方說(shuō)一個(gè)整數(shù)要除以8，那就把它乘以1/8，查一查倒數(shù)表，看看1/8能化成什么樣的六十進(jìn)分?jǐn)?shù)。

　　這十進(jìn)分?jǐn)?shù)在我們的十進(jìn)制記數(shù)法中，實(shí)際上就是十進(jìn)的有限小數(shù)。所以，六十進(jìn)分?jǐn)?shù)在六十進(jìn)位制中也就是有限小數(shù)。這樣，化除法為乘法一個(gè)小數(shù)，當(dāng)然簡(jiǎn)單了。

　　巴比倫的數(shù)表真真是數(shù)不盡，道不完。他們還有表示平方、平方根、立方和立方根的數(shù)表。

　　遇到無(wú)理數(shù)，當(dāng)然不能用有限的六十進(jìn)制表示啦，不過(guò)在那會(huì)兒倒算得挺準(zhǔn)：1．414213……當(dāng)然，他們哪能知道 是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)呢？那時(shí)各個(gè)地方的人似乎都認(rèn)為世界上只有有限位的小數(shù)。

　　當(dāng)然，這在巴比倫人那里還是用六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)表示的：

　　卻說(shuō)這巴比倫的數(shù)學(xué)泥版，除了大量的表以外，其他就是一些提問(wèn)式的內(nèi)容了。這些問(wèn)題的一個(gè)個(gè)解決，往往反映了他們的代數(shù)方面的水平。

　　早期巴比倫的代數(shù)相當(dāng)發(fā)達(dá)。這方面的一個(gè)著名問(wèn)題，就是求出一個(gè)數(shù)，讓它和它的倒數(shù)的和等于已知數(shù)。

　　用現(xiàn)代的記號(hào)來(lái)說(shuō)，就是要求出這樣一個(gè)x，使得

　　由于巴比倫人不知道負(fù)數(shù)，所以負(fù)根是略去不提的。

　　這樣看起來(lái)，巴比倫人實(shí)際上知道二次方程根的公式。當(dāng)然，我們這里看到的二次方程是特殊了點(diǎn)，常數(shù)項(xiàng)只是1。

　　不過(guò)，有好些問(wèn)題是打算說(shuō)明二次方的一般解法的。對(duì)于更為復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題，甚至用到了等量代換，把復(fù)雜的化成簡(jiǎn)單的！

　　巴比倫人很喜歡用文字代表未知量，把代數(shù)方程用語(yǔ)言敘述并且還用語(yǔ)言求解出來(lái)。他們常常用長(zhǎng)、寬、面積這些了來(lái)代表未知量，好像我們求解方程時(shí)，把未知量設(shè)為X、Y等。

　　比如說(shuō)，在一塊泥版中有這么個(gè)問(wèn)題：

　　“長(zhǎng)乘以寬得到面積10；現(xiàn)在我把長(zhǎng)自乘，得到的也是面積。再把長(zhǎng)與寬的差平方，然后乘以9，得到的還是面積10。問(wèn)長(zhǎng)和寬是多少？”

　　這個(gè)問(wèn)題翻譯成現(xiàn)在的寫法就是

　　這樣的方程組咱們初中生解決起來(lái)不費(fèi)事，不過(guò)，你要想想這可是三千多年前的事（公元前1600年），可真夠偉大的！

　　這古代的巴比倫人不但在記數(shù)、算術(shù)和代數(shù)方面技高一籌，幾何方面的知識(shí)也不賴。從公元前2000年到1600年的一些泥版中，可以知道他們已熟悉了長(zhǎng)方形面積、直角三角形面積的計(jì)算。還有一些簡(jiǎn)單立方體的體積也已經(jīng)能算出來(lái)。

　　對(duì)于圓，全世界的文明都對(duì)它有濃厚的興趣。這里關(guān)鍵的一點(diǎn)，就是對(duì)圓周率的認(rèn)識(shí)。

　　不過(guò)，巴比倫在幾何方面的造詣可遠(yuǎn)不止這么些。

　　1945年，有兩位學(xué)者對(duì)放在哥倫比大學(xué)的一塊數(shù)學(xué)泥版解讀一番，發(fā)現(xiàn)了更令人吃驚的事情。這塊泥版的編號(hào)叫變普林版322號(hào)。

　　這塊泥版上一共列舉了15行數(shù)，經(jīng)過(guò)認(rèn)真地研究這才發(fā)現(xiàn)：原來(lái)每一行都是畢氏三數(shù)！什么叫畢氏三數(shù)呢？也就是能構(gòu)成直角三角形邊的三個(gè)整數(shù)。比如像3、4、5，就是商高說(shuō)過(guò)的“勾三股四弦五”。還有5、12、13等等。

　　但是這普林頓322號(hào)版上給出的15組畢氏三數(shù)可是了不得！很大，現(xiàn)在咱們寫出幾組：

　�。�120，119，169）（3456，3367，4825）

　　（4800，4601，6649）（6480，4961，8161）

　　其中有一組更大：（13500，12709，18541）

　　這么大的數(shù)決不可能是用一次次試算求得的。人們猜測(cè)這些古人是不是掌握了計(jì)算畢氏三數(shù)的一組公式：

　　這里，x與 y 互素，有偶性也不同，并且 x＞y。這樣，a、b、C 就構(gòu)成畢氏三數(shù)了。

　　這組公式可是在普林頓泥版的一千多年后，才作為一項(xiàng)偉大的成就出現(xiàn)的呢！

　　人們還猜測(cè)，這些古巴比倫人是不是當(dāng)時(shí)就得知了“畢達(dá)哥拉斯定理”（也就是勾股定理）。要真是這么回事，那可就是把畢代定理提前1500年發(fā)現(xiàn)了！

　　不幸的是，這普林頓322號(hào)是個(gè)殘品，這塊書板的右邊中間有一個(gè)很深的缺口，左邊掉下的一塊也下落不明。這左邊破的地方還有現(xiàn)代膠水粘過(guò)的痕跡。大概是這塊書板不知怎么破了，人們嘗試著用膠水把它們粘在一起，但最后還是脫了膠。更糟糕的是這掉下的一半都不知弄那去了。也許是想要這塊泥版的人太多，你爭(zhēng)我搶弄壞的吧？也許是原來(lái)不當(dāng)它回事，東扔西丟搞掉了吧？說(shuō)不定也有可能還蘊(yùn)含著一個(gè)驚險(xiǎn)曲折的傳奇故事。反正在大洋彼岸的我們，也只能這么瞎猜猜了。

　　巴比倫人的天文學(xué)知識(shí)很豐富，三千年前就有了系統(tǒng)的觀測(cè)資料。他們的天文學(xué)家甚至能把新月和虧蝕出現(xiàn)的時(shí)間準(zhǔn)確地算到幾分鐘之內(nèi)。

　　巴比倫古代有的是陰歷。這陰歷的一月是按月亮的運(yùn)行周期定的，所以有的月份是29天，有的月是30天，全是根據(jù)新月出現(xiàn)的情況來(lái)定。這樣，哪一個(gè)月定29天，哪一個(gè)月定30天，計(jì)算起來(lái)就復(fù)雜啦！

　　再者，陰歷的月和一年的時(shí)間長(zhǎng)短也不能很好配合。12個(gè)月就是都照30天算，也還只有360天，何況這其中還有不少是29天的，這就和一年的天數(shù)差得多了。所以要根據(jù)情況，必要時(shí)在一年中插進(jìn)一個(gè)月，變成13個(gè)月。這就是陰歷的閏月。如果19年里插進(jìn)7個(gè)月，也就是19年7閏，那么月和年就能配合起來(lái)了。

　　這和我們中國(guó)用的農(nóng)歷是完全一樣的。正所謂“英雄所見(jiàn)略同”吧。

　　使我們感興趣的還有他們建造過(guò)的許多巨大的天文臺(tái)。這種建筑通常是由7個(gè)梯臺(tái)組成的，一個(gè)造在另一個(gè)的上面，就好像一架巨大的梯子伸向天空。每一個(gè)梯臺(tái)上都涂有一種顏色，代表七個(gè)星球——太陽(yáng)，月亮，金、木、水、火、土星。也許，這就是傳說(shuō)中巴比倫造的通天塔吧。

　　用這種建筑形式建造的宮殿，它的宏偉、樸素、勻稱和美觀是令人驚訝的。誰(shuí)敢說(shuō)，建造這些宏大的建筑不需要幾何知識(shí)呢？

　　說(shuō)了巴比倫，下面要把尼羅河畔的事由道一個(gè)明白。

　　這古埃及人得天獨(dú)厚，在尼羅河畔沐浴著陽(yáng)光幸福地成長(zhǎng)。當(dāng)美索不達(dá)米亞的統(tǒng)治權(quán)在各個(gè)民族間你爭(zhēng)我?jiàn)Z，迭經(jīng)更替的時(shí)候，埃及的文明卻在尼羅河的搖籃里獨(dú)自發(fā)展著。

　　埃及的文明源自何處今天已難以考證，不過(guò)可以肯定的是，在公元前5000年之前，就存在著。

　　在今天埃及這塊土地上，一開始有許多的州。每個(gè)州都有自己的名稱、都城，軍隊(duì)、政權(quán)、方言和圖騰，儼然是一個(gè)個(gè)獨(dú)立的小王國(guó)。

　　經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的戰(zhàn)爭(zhēng)和兼并，到公元前4000年代的中期，形成了兩個(gè)較大的王國(guó)。兩國(guó)以孟斐斯為界，以南的尼羅河谷地為上埃及，以北的尼羅河下游三角洲平原為下埃及。

　　公元前2100年左右，上埃及國(guó)王美尼斯征服了下埃及，實(shí)現(xiàn)了全埃及的統(tǒng)一。美尼斯把都城遷到上下埃及接壤的孟斐斯，并把它稱為“白城”。以后埃及歷史的主要時(shí)期就以統(tǒng)治的朝代來(lái)命名，而以美尼斯為第一王朝的創(chuàng)建人。

　　埃及文化在第三王朝（公元前2500年左右）到達(dá)頂峰，當(dāng)時(shí)的統(tǒng)治者建造了至今聞名的金字塔。一直到公元前332年，亞歷山大征服它以前，埃及文明都按著自己的道路延續(xù)著。從此以后，埃及的歷史和數(shù)學(xué)就融入到希臘文明中去了。

　　古代埃及文明的歷史延續(xù)了3000多年，是世界文明發(fā)祥地中的一個(gè)。古代的埃及好像“書”沒(méi)有“同文”，他們有幾套自己的文字，最早的是象形文字，這些都和咱們中國(guó)一開始的情況差不多。公元前2500年左右，開始用一種所謂“僧侶文”來(lái)作日常的書寫。

　　他們又是怎么書寫的呢？大家或許都知道就是用墨水寫在紙草片上。紙草是尼羅河下游的一種植物，又叫紙莎草，形狀像蘆葦。古代埃及人把這種草從縱面剖開，壓平后用來(lái)寫字。同時(shí)，一般是把許多條紙草片粘在一起，連成長(zhǎng)幅，卷在一個(gè)桿子上，形成卷軸（倒很人些象我們的卷軸書畫呢�。�，所以這些紙草文書又叫紙草卷。

　　古埃及的氣候干燥，所以紙草卷不會(huì)霉?fàn)�，這樣就能保存下來(lái)，留給后世；但正因?yàn)橐蔡�干了點(diǎn)，所以紙草片又容易干裂成碎末，這樣保存下來(lái)的又不多。正所謂“成也蕭何，敗也蕭何”，老天爺弄得也挺為難的。

　　留給后世的紙草文書那可是大不一樣了，恒溫恒濕，高精控制，比總統(tǒng)住的還高級(jí)。這里面有數(shù)學(xué)內(nèi)容的主要是兩批。

　　一批是在 1893 年由俄羅斯收藏家哥列尼舍夫所收購(gòu)，1912 年轉(zhuǎn)為莫斯科美術(shù)博物館所有，所以叫莫斯科紙草卷。

　　一批是1858年由英國(guó)發(fā)現(xiàn)的，現(xiàn)存英國(guó)博物館。因?yàn)樗�的作者阿摩斯，是公元�?700年左右的一位埃及僧人，所以又叫阿摩斯紙草文書。

　　據(jù)這位僧人記載，這份紙草文書的內(nèi)容是從公元前2200年第十二王朝時(shí)代的紙草文書上轉(zhuǎn)錄下來(lái)的。他在這份紙草文書的開頭寫下了這么句話：“獲知一切奧秘的指南。”

　　數(shù)學(xué)紙草卷都是在古埃及政府和廟宇里工人的紀(jì)錄員們記下的作品。在萊因德紙草文書里有 85 道數(shù)學(xué)問(wèn)題和解答，莫斯科紙草文書里有 25道。雖然這些數(shù)學(xué)問(wèn)題“解答大全”是在公元前1700年左右編寫的，但所含的數(shù)學(xué)知識(shí)是埃及人早在公元前3500年就已經(jīng)知道的，而從那時(shí)起直到希臘人征服他們以前，他們也還是沒(méi)增加什么新內(nèi)容。

　　埃及的數(shù)學(xué)就這么平靜地流淌了三四千年，好像尼羅河停止不動(dòng)了。不過(guò)，當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)水平也就那么高，當(dāng)時(shí)的需要也就那么多。紙草卷上的那點(diǎn)數(shù)學(xué)也就足矣！看來(lái)不但時(shí)勢(shì)造英雄，時(shí)勢(shì)也成就科學(xué)。

　　從紙草卷上來(lái)看，古埃及還學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)來(lái)管理國(guó)家和宗教事務(wù)，確定付給勞役者的報(bào)酬，求谷倉(cāng)的容積和田地的面積，征收按田畝估出的地稅，計(jì)算修房蓋屋和建防御工程所需要的磚塊，再算算釀酒要多少谷物，等等，數(shù)學(xué)一開始就是從實(shí)際需要發(fā)展起來(lái)的，這恐怕是全球都適用的公理。

　　古埃及人創(chuàng)造了一套從一到一百萬(wàn)的有趣的像形數(shù)字記號(hào)。咱們前面已見(jiàn)識(shí)過(guò)：1是垂直的一根木棒，10是一副腳鐐（有人把這解釋為放牛時(shí)用的彎曲工具），100 是一卷卷起來(lái)的測(cè)量繩（可能當(dāng)時(shí)每卷測(cè)繩都是 100 個(gè)長(zhǎng)度單位），1000是朵蓮花。

　　一萬(wàn)呢，是個(gè)手指頭，十萬(wàn)就畫成小蝌蚪。最有趣的是一百萬(wàn)，畫了一個(gè)舉起雙手表示吃驚的人（這么大的數(shù)確實(shí)也令我們吃驚，古埃及好像是最早寫出這么大數(shù)的人）。

　　這套數(shù)字符號(hào)是以10為底的，但不是進(jìn)位制的。書寫的方式呢，也是從右向左。咱們?cè)谏弦换匾呀?jīng)看到了，故且放下不提。

　　埃及的算術(shù)具有加法的特征，不但加法是加，而且乘法也是用疊加的方法做出來(lái)的。

　　現(xiàn)在我們當(dāng)一回古埃及人，做一下26與33的積，看看究竟是如何疊加的。

　　因?yàn)?26＝16＋8＋2，所以我們只要把 33 的這些倍數(shù)（2 倍、8 倍、16倍）加起來(lái)就行了。而2、8、16等等，都是2的乘冪，所以只要對(duì)33逐次加倍就可能得到所求的倍數(shù)。

　　具體做法如下：

　　把那些帶有星號(hào)（“*”）的33的倍數(shù)加起來(lái)，就得到答案858。

　　做除法呢，就是連續(xù)減去加倍。

　　比如對(duì)753 除以 26，可以連續(xù)地把除數(shù) 26 加倍，一直到再加倍就超過(guò)被除數(shù)753為止。其程序如下：

　　126252410482081641628

　　右邊的一列分別表示26的 1倍、2倍、4 倍、8倍、16倍，26 的32 倍已經(jīng)超過(guò)被除數(shù)753，所以就沒(méi)有列出。

　　因?yàn)?/p>

　　753＝416＋337

　　＝416＋208＋129

　�。�416＋208＋104＋25

　　這樣我們又可以得到：753—26×（16＋8＋4）＝25減式中一共有16＋8＋4＝28個(gè)26，所以商就是28，余數(shù)為25。

　　有人會(huì)想了，如果一個(gè)除法中，商不是28，能不能由左邊的那列數(shù)：1、2、4、8……，也就是2的各次乘冪，相加得到呢？

　　回答是肯定的。因?yàn)槿魏我粋�(gè)整數(shù)，都可以表示成2的各次冪的和。為什么呢？這是因?yàn)槿魏我粋�(gè)整數(shù)都可以用“除二取余”的方法化成二進(jìn)制數(shù)。

　　一進(jìn)制數(shù)不就是2的乘冪的和嗎？

　　埃及的乘法和除法在計(jì)算過(guò)程中不僅不需要乘法表，而且便于用算盤。古埃及的乘法程序不斷發(fā)展，到后來(lái)就把上面講過(guò)的疊加法改變?yōu)?ldquo;雙倍和折半法”。

　　假如我們還是以33乘以26，那么就可以連續(xù)地減半26，并對(duì)33連續(xù)加倍：

　　然后把倍列中的那些與半列中奇數(shù)相對(duì)應(yīng)的33倍數(shù)加起來(lái)，即 66＋264＋528，便得到乘積858。

　　這其中的道理其實(shí)只要把26化為二進(jìn)制數(shù)，就能理解。

　　今天電腦中的乘法就是用這種方法進(jìn)行的，因?yàn)殡娔X中數(shù)的表示都是二進(jìn)制。相信朋友們自己能夠解決這個(gè)問(wèn)題，我們就不多談了。

　　埃及人的分?jǐn)?shù)記法也比較獨(dú)特，還比較復(fù)雜。比如在像形文字中：

　　大家可以看到這卯形（■）的下面是個(gè)整數(shù)，所以卯形■加在整數(shù)上就表示是一個(gè)幾分之一的分?jǐn)?shù)，也就是單位分?jǐn)?shù)。

　　其他的分?jǐn)?shù)就用單位分為九的和來(lái)表示

　　在萊因德紙草文書中有個(gè)數(shù)表，把分子為2而分母為5到101的奇數(shù)的這樣一些分?jǐn)?shù)，表達(dá)成單位分?jǐn)?shù)的和：

　　利用這張數(shù)表，就能把其他一些分?jǐn)?shù)寫成分子為1的單位分?jǐn)?shù)之和，埃及人利用單位分?jǐn)?shù)來(lái)進(jìn)行分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算。

　　這分?jǐn)?shù)運(yùn)算這么一來(lái)很繁瑣，恐怕這也是尼羅泥畔的算術(shù)和代數(shù)沒(méi)有達(dá)到更高水平的原因吧。

　　在萊因德紙草文書的85個(gè)問(wèn)題中，許多都是用來(lái)計(jì)算面包的分法，啤酒的深度，牛和家禽的飼料混和比例，還有谷物貯藏等的。

　　對(duì)于其中出現(xiàn)的未知量，他們用純粹算術(shù)的方法，沒(méi)有解方程這種想法。

　　有些是用后來(lái)在歐洲稱為“試位法”的方法來(lái)解決的。

　　當(dāng)然，埃及人當(dāng)時(shí)并沒(méi)有用未知量、方程，而是用文字去敘述解的過(guò)程的。所以這基本上只能是算術(shù)。

　　在萊因德紙草卷中，有一個(gè)問(wèn)題（第79號(hào)問(wèn)題）很有趣，對(duì)它的解釋也五花八門。在這個(gè)問(wèn)題中，出現(xiàn)了一組奇妙的數(shù)據(jù)。我們把這個(gè)問(wèn)題寫在下面：

　　一個(gè)人的全部財(cái)產(chǎn)

　　房子  7

　　貓    49

　　老鼠  343

　　麥穗  2410

　　谷物  16807  19607

　　眼睛尖的讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)是7的前5次冪，最后是它們的和。這樣，人們一開始就認(rèn)為這不過(guò)是一張形象一點(diǎn)的7的乘方表。

　　然而有位歷史學(xué)家康托爾（不是那位數(shù)學(xué)家）在 1907年對(duì)此給了一個(gè)更精彩也更合理的說(shuō)法。

　　他首先聯(lián)想到中世紀(jì)一位意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的《算盤書》中談到的一個(gè)問(wèn)題：“有七個(gè)老婦人走在去羅馬的路上，每人有七匹騾子；每匹騾子馱七條口袋；每只口袋裝七個(gè)大面包；每個(gè)面包帶七把小刀；每把小刀有七層刀鞘。在去羅馬的路上，婦人、騾子、口袋、面包、小刀和刀鞘，一共有多少？”

　　這個(gè)問(wèn)題后來(lái)在英國(guó)還演變成了一首童謠：

　　我赴圣地愛(ài)弗西，

　　途遇婦女?dāng)?shù)有七，

　　一人七袋手中提一袋七貓數(shù)整齊，

　　一貓七子緊相依，

　　婦女、布袋、貓與子，

　　多少同時(shí)赴圣地？

　　這么簡(jiǎn)單的一聯(lián)想，思維的火花頓時(shí)迸出光芒，康托爾很自然地把萊因德79號(hào)問(wèn)題解釋成：“一份財(cái)產(chǎn)包括七間房子；每間房子有七只貓；每只貓吃七只老鼠；每只老鼠吃七個(gè)麥穗；每個(gè)麥穗產(chǎn)七克谷物。在這份財(cái)產(chǎn)中，房子、貓、老鼠、麥穗和谷物，總共有多少？”

　　當(dāng)今天的孩子在唱英國(guó)人的那首有趣的繞口令時(shí)，不知是否知道，這也許還是三千七百年前埃及人留傳下來(lái)的呢！

　　埃及人的幾何又是怎樣呢？尼羅河畔自然不能缺少幾何；而談到幾何，自然又想到巍巍屹立的金字塔。

　　公元前2900年建造的胡夫金字塔最大，它原高為146．5米（現(xiàn)在還剩下137米），用 2000000塊石頭組成，每塊平均重2．5噸，非常仔細(xì)地砌在一起。正方形的底面每邊長(zhǎng)233米（現(xiàn)在227米）。

　　此外金字塔的四個(gè)面正對(duì)著東南西北，與正北的偏差也只有3′左右。這么高大的金字塔，建造精度如此之高，唯有嘆服也！不過(guò)有人認(rèn)為，莫斯科紙草文書的第14個(gè)問(wèn)題，更是一座最偉大的金字塔。

　　在這個(gè)問(wèn)題中，要你求一個(gè)截去了頂?shù)慕鹱炙�，也就是現(xiàn)在常說(shuō)的棱臺(tái)的體積。當(dāng)然，它接著就告訴你上、下兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，這個(gè)截頂金字塔的高。然后就教你怎么算了。

　　從這些埃及人的偉大教導(dǎo)中，我們竟得出了一個(gè)連現(xiàn)代人都感到困難的四梭臺(tái)計(jì)算公式：

　　這里當(dāng)然是用了現(xiàn)代的記法，h代表高，a、b分別是上、下正方形的邊長(zhǎng)。

　　這也許是埃及幾何里最了不起的一項(xiàng)成就了，因?yàn)樗�完全正確。

　　不過(guò)在計(jì)算比較簡(jiǎn)單的四邊形的面積時(shí)，卻有一個(gè)明顯的，令人迷惑不解的錯(cuò)誤。

　　在一個(gè)廟宇的墻上就刻有一張捐獻(xiàn)田地的表，這些田地一般都有四邊，我們用a、b、c、d表示它們的長(zhǎng)。并且，a、b兩邊相對(duì)，C、d兩邊相望。

　　不過(guò)，這一次埃及人給我的教導(dǎo)令人失望，墻上刻出的這些田地的面積是：

　　這個(gè)公式用來(lái)計(jì)算長(zhǎng)方形時(shí)是完全正確的，但用來(lái)計(jì)算一般的四邊形面積就不對(duì)了。如果這個(gè)四邊形的四角與直角相差太大，那誤差就非常明顯了。

　　有一個(gè)流傳很廣的說(shuō)法；古埃及的拉繩人（測(cè)量員），在繩子上打結(jié)，把全長(zhǎng)分成3比4比5的三段，然后用來(lái)構(gòu)成直角，或者構(gòu)成直角三角形。

　　這個(gè)美好傳說(shuō)在紙草文卷和廟宇壁刻上都找不到痕跡。

　　但是找不到并不能說(shuō)他們對(duì)勾股定理沒(méi)有認(rèn)識(shí)。應(yīng)當(dāng)相信，許多普遍性的東西在各個(gè)文明發(fā)源地都會(huì)有發(fā)現(xiàn)，有表現(xiàn)的。

　　所以有人建議，如果地球人發(fā)射宇宙飛船去尋找外星人的話，不妨用勾股定理去作勾通的名片，交流的話題。當(dāng)然，這送去當(dāng)禮物的勾股定理有什么文字書寫，用什么話去說(shuō)都沒(méi)什么用，外星人誰(shuí)懂得你地球上的一套信息符號(hào)呢？所以有人就又建議把這勾股定理畫成一幅一看就懂得的幾何圖，行不行就是兩說(shuō)了。因?yàn)橥庑侨擞袥](méi)有更是兩說(shuō)呢。

　　這d，自然是直徑。這就等于取圓周率為3．1605，夠精確的了。

　　尼羅河定期泛濫，這樣，觀察好天象，研究好歷法可是件大事，這可真正是關(guān)系到能不能得到食物的事情。古埃及靠觀察天狼星來(lái)算得一年的日子。他們把一年定為365天，分為12個(gè)月，每月30天，年末外加5天。不過(guò)他們的天文學(xué)比起巴比倫人來(lái)，要遜色多了。

　　不過(guò)，埃及人在天文和幾何方面有另一項(xiàng)好記錄，他們?cè)斓纳駨R，能使一年中白天最長(zhǎng)的那一天（也就是夏至），陽(yáng)光可以直照入廟宇，照亮祭壇上的神像。小民們不知事情緣故，自然是驚恐地或驚訝地伏在神像下多叩頭了。

　　兩邊文明一一敘，讓咱們?cè)倩氐饺A夏古國(guó)。

　　卻說(shuō)這周公、商高的一番對(duì)話，自然使我們好激動(dòng)。不過(guò)大家對(duì)只有“勾三、股四、弦五”這點(diǎn)內(nèi)容當(dāng)然不夠滿意。3、4、5 這一組數(shù)畢竟只是最好找的畢氏三數(shù)。

　　那么，商高們似乎并不僅僅停留在勾股定理的一些特殊情況。

　　《周髀算經(jīng)》中在擺談了一陣周公、商高的懇談后，又出現(xiàn)了一段榮方和陳子的問(wèn)答。這榮方與陳子是何年何月何處人氏，典籍都沒(méi)有交代，想必不是名人，不像周公旦那樣名聲遠(yuǎn)播。但陳子的一席話卻是有歷史紀(jì)念碑般的作用，不可小覷。

　　陳子曰：“若求斜至日者，以日下為勾，日高為股。勾、股各自乘，并而開方除之，得斜至日。”

　　陳子是在說(shuō)，你想求出“斜至日”（弦），只要把勾股分別平方（自乘），然后相加，再對(duì)其開平方，也就是說(shuō)：

　　這樣，我們的勾股定理就不限于3、4、5這些具體情況，而是有著對(duì)任意直角三角形都適用的一般形式。因此，盡管我們古人對(duì)勾股定理并沒(méi)有像希臘的畢達(dá)哥拉斯那樣去證明，但卻要早幾百年發(fā)現(xiàn)。

　　這《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的算書，大約在2000多年前寫成，主要記述的是周代的一些數(shù)學(xué)、天文知識(shí)。

　　“髀”的原意是股或股骨，所謂“髀者，股也”，就是這個(gè)意思。這里是用來(lái)指測(cè)量太陽(yáng)影子的“表”了，也就是標(biāo)桿。想必當(dāng)初一開始用的標(biāo)桿就是動(dòng)物的一段股骨。

　　“正晷者，勾也”，這是陳子對(duì)“勾”的說(shuō)法，意思是影子的長(zhǎng)。所以，這陳子得出勾股定理，是從測(cè)量太陽(yáng)影子的工作中取得的。知道了標(biāo)桿的長(zhǎng)和影子的長(zhǎng)，就能把“斜至日”，也就是影子的未端與標(biāo)桿的頂端的那一段算出來(lái)。

　　陳子教導(dǎo)榮方說(shuō)，夏至的時(shí)候到南面16000里的地方，冬至的時(shí)候南去135000里，正中午時(shí)候立一根桿子，就沒(méi)有影子了。

　　竹筒測(cè)日徑陳子的膽子倒確實(shí)不小，他居然測(cè)量起太陽(yáng)的直徑！用的方法也很先進(jìn)。“即取竹，空徑一寸，長(zhǎng)八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應(yīng)空”，就是說(shuō)用根空心的竹桿，直徑一寸，長(zhǎng)八十寸（八尺），朝太陽(yáng)去看，竹筒的那個(gè)圓（“空”）正好把“日”滿滿地套住，不留一點(diǎn)空。這也許就是“管窺蠡測(cè)”中的管窺吧。

　　接下來(lái)是用比例來(lái)計(jì)算日徑。竹筒口徑與筒長(zhǎng)之比是 1：80，當(dāng)時(shí)認(rèn)為觀察者至太陽(yáng)是100000里，如果沒(méi)日徑為D，那么：

　　D：100000＝l：8，

　　這樣得到：D＝1250里。

　　由于日地距離取十萬(wàn)里誤差太大，當(dāng)然這里的日徑也與實(shí)際的相差太遠(yuǎn)，不過(guò)我們更應(yīng)該為陳子的勇氣，陳子的觀測(cè)方法和計(jì)算方法而驚嘆不已。

　　用比例來(lái)計(jì)算，來(lái)測(cè)量，遠(yuǎn)在三千年的中國(guó)就有這樣先進(jìn)的方法，真是太了不起了。

　　當(dāng)時(shí)在《淮南子》等書中也有這方面的內(nèi)容：“若使景（就是影子）與表相等，則高與遠(yuǎn)等也。”這“表”也就是前面說(shuō)過(guò)的標(biāo)桿。

　　這可是個(gè)很有用的測(cè)量高度的方法。比如說(shuō)我們現(xiàn)在想測(cè)量一下電視塔的高度，怎么辦呢？可以拿一根標(biāo)桿，立在太陽(yáng)底下，等影子和標(biāo)桿的長(zhǎng)度一樣了，趕緊再測(cè)量電視塔的影子，那么這電視塔影子的長(zhǎng)度，就是它的高度了。

　　這里面用的就是相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例的知識(shí)。所以同學(xué)們自然會(huì)想到，倒不必一定要等到影子和標(biāo)桿一樣長(zhǎng)再動(dòng)手，任何時(shí)候只要有影子就都可進(jìn)行啦！

　　這影子的研究可是重要的很。在古代，沒(méi)有鐘，也沒(méi)有其他天文觀察儀器，全靠看太陽(yáng)投射的影子來(lái)確定時(shí)間和節(jié)氣了。用來(lái)計(jì)算時(shí)間的，叫日晷，根據(jù)日晷的影子來(lái)確定一天的時(shí)間。用來(lái)定出節(jié)氣的，就是“髀”了，也就一根標(biāo)桿，根據(jù)一年里這根標(biāo)桿的影長(zhǎng)，來(lái)定出二十四節(jié)氣。

　　《周髀算經(jīng)》中的“髀”是八尺長(zhǎng)。這些古人首先測(cè)出影子最長(zhǎng)的冬至和影子最短的夏至（當(dāng)然是中午時(shí)分的影子），分別是一丈三尺五寸和一尺六寸。

　　以冬至到夏至共有12個(gè)節(jié)氣，用12去除冬至與夏至的影長(zhǎng)的差：

　　這就得到了從冬至開始，每個(gè)節(jié)氣影長(zhǎng)減少的長(zhǎng)度，正所謂：“八節(jié)二十四氣，氣損益九寸九分、六分分之一。”

　　這樣，每個(gè)節(jié)氣逐次相減，到了夏至以后又每個(gè)節(jié)氣逐次相增，《周髀》中就列出了中午時(shí)分，八尺“表”（即標(biāo)桿）的影長(zhǎng)表。

　　同學(xué)們自不妨也弄個(gè)標(biāo)桿樹在自家門口，具體地測(cè)一測(cè)冬、夏至和其他節(jié)氣的影子，倒是件增長(zhǎng)學(xué)問(wèn)的好事情。

　　《骨髀》中給出的這些節(jié)氣影子的長(zhǎng)度，實(shí)際就是一個(gè)等差數(shù)列。更值得注意的是，這其中出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)。

　　您瞧，不但有分?jǐn)?shù)，而且有角度，還出現(xiàn)了各種帶分?jǐn)?shù)。從 3500年前的阿摩斯草紙卷到十五、六世紀(jì)的歐洲，西域之人一直可憐而不幸地用著古埃及人所用的分?jǐn)?shù)，腦袋里弄得昏天黑地�？墒窃谌A夏古國(guó)，一開始就是先進(jìn)的十進(jìn)分?jǐn)?shù)，確實(shí)是獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷幾千年了。

　　《周髀》中周公、商高的交談中有“矩出于九九八十一”說(shuō)法。說(shuō)明“九九”表早已有之了。

　　說(shuō)到“九九”表我們又想到了一件趣事。

　　春秋五霸之一的齊桓公想稱霸中華，開了個(gè)招賢館延聘賢才。但是招聘廣告貼出去多時(shí)了還未見(jiàn)有一個(gè)人上門，倒不是那時(shí)候各個(gè)單位卡住檔案不

　　放人，而是因?yàn)榇蠹覍?duì)齊桓公先生的誠(chéng)意有點(diǎn)不相信。

　　話說(shuō)有一天有一個(gè)人前來(lái)求見(jiàn)，齊桓公問(wèn)道：“你有什么本領(lǐng)��？”來(lái)人答曰“我會(huì)‘九九歌’”。

　　齊桓公撲哧一笑：“會(huì)背‘九九歌’也算是件本領(lǐng)嗎？”

　　這人不慌不忙地說(shuō)：“這‘九九歌’確實(shí)不夠資格拿來(lái)作為見(jiàn)面禮，但是您對(duì)我這個(gè)只懂得“九九’的人都能重視重用的話，還愁比我高明的人不接踵而來(lái)嗎？”

　　齊桓公一聽精神一振，立即請(qǐng)講招賢館隆重招待。果然不出一個(gè)月，許多有識(shí)之士紛至沓來(lái)，投入“齊董事長(zhǎng)”帳下效力。

　　這就告訴我們?cè)缭诖呵飼r(shí)期，會(huì)背“九九歌”已經(jīng)很不稀奇，更不要說(shuō)加、減、乘、除四則運(yùn)算了。

　　再說(shuō)這春秋戰(zhàn)國(guó)乃百家爭(zhēng)鳴、百“子”并立的熱鬧時(shí)期，內(nèi)中單道一位姓墨名翟人稱墨子的先生。墨子是主張“非攻”的，是當(dāng)時(shí)“綠色和平組織的領(lǐng)導(dǎo)者”，他與咱中國(guó)工程技術(shù)的祖師爺魯班倒有過(guò)一段過(guò)節(jié)。

　　魯班是當(dāng)時(shí)有名的能工巧匠，會(huì)造各種器械，后來(lái)楚王把他延攬了去，造了攻城的云梯，準(zhǔn)備攻宋。

　　墨子一聽，立即從魯國(guó)出發(fā)，走了十天十夜，鞋都走沒(méi)了，就用破衣服裹一下腳。到得楚地，就給楚王做了番比喻，說(shuō)了番道理。他說(shuō)，你們楚國(guó)地方廣闊，宋國(guó)才一點(diǎn)點(diǎn)；楚國(guó)物產(chǎn)豐富，而宋國(guó)還比較貧困，何必去攻宋呢？不有點(diǎn)像一個(gè)富人去偷窮鄰居一樣可笑嗎？

　　楚王回答說(shuō)，對(duì)是對(duì)，但現(xiàn)在魯班高級(jí)工程師已經(jīng)為寡人造了云梯了，一定要攻宋，沒(méi)辦法啦。

　　墨子笑道，那不要緊，我就和魯先生演練一下，來(lái)一次沙盤演習(xí)。咱要是斗敗了，掉臉就開路。

　　于是墨子解了衣帶做一個(gè)城的模樣，和魯班演習(xí)起攻守之策。魯工改變了9次攻城的戰(zhàn)術(shù)，墨子都把他擋了回去。魯班的攻城器械用完了，而墨老先生的守御辦法還富富有余。

　　魯班這時(shí)有些不起好心，對(duì)楚王說(shuō)，我想還有最后一個(gè)辦法。誰(shuí)知墨子微微一笑說(shuō)，魯先生的意思是讓楚殺掉我，可惜遲了，我的弟子早已拿著守城器械在宋國(guó)恭候您的大駕呢。

　　這一場(chǎng)化干戈為玉帛的故事說(shuō)明墨子和魯班都有相當(dāng)豐富的幾何知識(shí)。試想想，沒(méi)有幾何方面的認(rèn)識(shí)，城墻的建造，距離、高低、土方等測(cè)量，器械的修造，又怎么可能呢？要知道，當(dāng)時(shí)建筑中已開始繪制平面圖，圖上有建筑物的墻線、名稱和墻之間的距離等等。

　　墨子他老人家不僅實(shí)踐上數(shù)得著，理論上也獨(dú)樹一幟，有相當(dāng)水平�！赌�子》就是一本包含著邏輯學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和幾何學(xué)等方面內(nèi)容的典籍。墨老先生用嚴(yán)格的邏輯方法來(lái)說(shuō)明幾何概念，這種做法和古希臘亞里斯多德有些相似。而“亞先生”正是形式邏輯的鼻祖。

　　《墨子》中有19條數(shù)學(xué)方面的內(nèi)容，許多是與現(xiàn)代的觀念一致的。當(dāng)然不可避免地要提到矩形和圓，我們?cè)�說(shuō)過(guò)這是人類最早認(rèn)識(shí)的圖形。“方，柱隅四雜也”，墨子在這里所矩形說(shuō)成是四條直邊、四個(gè)直角構(gòu)成的圖形，完全準(zhǔn)確、嚴(yán)密。對(duì)于圓，他是這樣說(shuō)的：“圓，一中同長(zhǎng)也。”中，就是圓心。幾乎不要解釋大家都明白，它和我們現(xiàn)在圓的定義是多么的一致！不但有定義，而且有圓的作法，“圓，規(guī)寫文也”，就是說(shuō)圓是用圓規(guī)畫出的，終點(diǎn)與起點(diǎn)相重合（“交”）的曲線。

　　《墨子》中還讀到了分割問(wèn)題，把一個(gè)物體從中間分開棄去一半，從剩余的一半中再棄去一半，如此分割下去，最后剩下一個(gè)不能分割的“端”，也就是一點(diǎn)。

　　這使大家想到古希臘一個(gè)著名的故事：飛毛腿阿基里斯和烏龜賽跑。

　　欲知后事如何，且聽下回分解。