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歐拉關(guān)系(奧數(shù)思維能力拓展)

2010-05-14 16:42:50      下載試卷

  歐拉發(fā)現(xiàn)在多面體的頂點、邊與面的數(shù)目間存在著一種簡單的關(guān)系,這種關(guān)系被視為圖論(graph theory)中相當(dāng)重要的定理。

  你現(xiàn)在應(yīng)該可以自己敘述歐拉關(guān)系了?纯创岁P(guān)系是否也能適用于其他的多面體,檢驗一下你的推論。

  當(dāng)時歐拉認(rèn)為這只是多面體的性質(zhì),但后來數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系也能適用于球面或平面上的網(wǎng)絡(luò)。



  考慮如圖1的網(wǎng)絡(luò)。其中有3個結(jié)點A、B、C,4條弧p、q、r、s;這個網(wǎng)絡(luò)把平面分成3個區(qū)域1、2、3.這些數(shù)目滿足下列關(guān)系:

  N-A+R=2

  N為結(jié)點的數(shù)目,A為弧的數(shù)目,R為區(qū)域的數(shù)目。你覺得這與多面體的關(guān)系是否有什么類似之處?

  現(xiàn)在把上述的關(guān)系式用在其他的網(wǎng)絡(luò)上,試試結(jié)果如何。

  你是否試過圖2中不相連的網(wǎng)絡(luò)?



  你應(yīng)該會發(fā)現(xiàn),上述的關(guān)系式需要視網(wǎng)絡(luò)中分離部分的數(shù)目作修正?纯茨闶欠衲苷业揭粋公式,不管網(wǎng)絡(luò)中到底有多少部分,都能成立。

  “歐拉關(guān)系”與“網(wǎng)絡(luò)關(guān)系”之間的聯(lián)系可以用圖3說明。

  想象一下,用具有彈性的材料做一個立方體,可以如圖3的方式伸展,然后壓平,成為平面上的網(wǎng)絡(luò)。原來立方體的每一個頂點現(xiàn)在都成為網(wǎng)絡(luò)中的結(jié)點,原來立方體的每一條邊現(xiàn)在則成為網(wǎng)絡(luò)中的一條弧。



  立方體的每一面現(xiàn)在都成為平面中的一個區(qū)域,只除了ABCD之外,不過也可以把ABCD看成是代表網(wǎng)絡(luò)外部的區(qū)域。所有多面體以這種方式變換都可得到類似的結(jié)果,但要注意的是,對有洞的多面體需要做進(jìn)一步的考察。

  如果將多面體看作是三維空間分隔成不同區(qū)域,則對歐拉的關(guān)系式還可以作進(jìn)一步推廣。

  考慮一下最簡單的多面體——四面體(圖4)。



  四面體將空間分成兩個區(qū)域,且

  V-E+F-R=4-6+4-2=0

  其中V、E、F各代表多面體的頂點、邊與面的數(shù)目,R為區(qū)域的數(shù)目,F(xiàn)在在立方體上加一個金字塔形的角錐體。這種組合將空間分成3個區(qū)域,包括9個頂點、16條邊與10個面(圖5)。



  我們再度得出

  V-E+F-R=0

  這是由歐拉原始的關(guān)系式推廣得出的另一個關(guān)系式。用其他的方法分割空間,檢驗一下這個關(guān)系式。

 

來源:奧數(shù)網(wǎng) 作者:——

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