數(shù)論之完全平方數(shù)練習4答案

部分習題答案：

　　1、矩形四邊的長度都是小于10的整數(shù)(單位：公分)，這四個長度數(shù)可構成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)的千位數(shù)字與百位數(shù)字相同，并且這四位數(shù)是一個完全平方數(shù)，求這個矩形的面積(1986年縉云杯初二數(shù)學競賽題)。

　　解：設矩形的邊長為x,y，則四位數(shù)

　　∵N是完全平方數(shù)，11為質數(shù) ∴x+y能被11整除。

　　又 ,得x+y=11。

　　∴∴9x+1是一個完全平方數(shù)，而，驗算知x=7滿足條件。又由x+y=11得。

　　2、求一個四位數(shù)，使它等于它的四個數(shù)字和的四次方，并證明此數(shù)是唯一的。

　　解：設符合題意的四位數(shù)為，則，∴為五位數(shù)，為三位數(shù)，∴。經(jīng)計算得，其中符合題意的只有2401一個。

　　3、求自然數(shù)n，使的值是由數(shù)字0,2,3,4,4,7,8,8,9組成。

　　解：顯然，。為了便于估計，我們把的變化范圍放大到，於是，即。∵，∴。

　　另一方面，因已知九個數(shù)碼之和是3的倍數(shù)，故及n都是3的倍數(shù)。這樣，n只有24,27,30三種可能。但30結尾有六個0，故30不合要求。經(jīng)計算得

　　故所求的自然數(shù)n = 27。