1、將一根長(zhǎng)144厘米的鐵絲,做成長(zhǎng)和寬都是整數(shù)的長(zhǎng)方形,共有______種不同的做法 其中面積最大的是哪一種長(zhǎng)方形

　　(1992年"我愛(ài)數(shù)學(xué)"邀請(qǐng)賽試題)

　　講析:做成的長(zhǎng)方形,長(zhǎng)與寬的和是

　　144÷2=72(厘米).

　　因?yàn)?2=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36,

　　所以,一共有36種不同的做法.

　　比較以上每種長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的積,可發(fā)現(xiàn):當(dāng)長(zhǎng)與寬都是36厘米時(shí),面積最大.

　　2、若干只同樣的盒子排成一列，小明把42個(gè)同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小聰從每只盒子里取出一個(gè)小球，然后把這些小球放到小球最少的盒子里去，在把盒子從新排列了一下。小明回來(lái)，仔細(xì)查看，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)友人動(dòng)過(guò)小球和盒子。問(wèn)：一共有多少只盒子？

　　分析：設(shè)原來(lái)小球數(shù)最少的盒子里裝有a只小球，現(xiàn)在增加到了b只，但小明發(fā)現(xiàn)沒(méi)有人動(dòng)過(guò)小球和盒子，這說(shuō)明現(xiàn)在又有了一只裝有a個(gè)球的盒子，這只盒子原來(lái)裝有a+1個(gè)小球，

　　同理，現(xiàn)在另有一個(gè)盒子里裝有a+1個(gè)小球，這只盒子里原來(lái)裝有a+2個(gè)小球。

　　依此類推可知：原來(lái)還有一個(gè)盒子里裝有a+3個(gè)小球，a+4個(gè)小球等等，故原來(lái)那些盒子里裝有的小球數(shù)是一些連續(xù)自然數(shù)。

　　現(xiàn)在這個(gè)問(wèn)題就變成了：將42分拆成若干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個(gè)加數(shù)？

　　因?yàn)?2=6×7，故可將42看成7個(gè)6的和，又：

　�。�7+5）+（8+4）+（9+3）

　　是六個(gè)6，從而：

　　42=3+4+5+6+7+8+9

　　一共有7個(gè)加數(shù)；又因?yàn)?2=14×3，可將42寫(xiě)成13+14+15，一共有3個(gè)加數(shù)；

　　又因?yàn)?2=21×2，故可將42寫(xiě)成9+10+11+12，一共有4個(gè)加數(shù)。

　　解：本題有三個(gè)解，一共有7只盒子，4只盒子，3只盒子。

　　點(diǎn)金術(shù)：巧用假設(shè)和推理把已知和未知聯(lián)系起來(lái)。

　　3、將1992表示成若干個(gè)自然數(shù)的和,如果要使這些數(shù)的乘積最大,這些自然數(shù)是______.

　　(1992年武漢市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

　　講析:若把一個(gè)整數(shù)拆分成幾個(gè)自然數(shù)時(shí),有大于4的數(shù),則把大于4的這個(gè)數(shù)再分成一個(gè)2與另一個(gè)大于2的自然數(shù)之和,則這個(gè)2與大于2的這個(gè)數(shù)的乘積肯定比它大.又如果拆分的數(shù)中含有1,則與"乘積最大"不符.

　　所以,要使加數(shù)之積最大,加數(shù)只能是2和3.

　　但是,若加數(shù)中含有3個(gè)2,則不如將它分成2個(gè)3.因?yàn)?×2×2=8,而3×3=9.

　　所以,拆分出的自然數(shù)中,至多含有兩個(gè)2,而其余都是3.

　　而1992÷3=664.故,這些自然數(shù)是664個(gè)3.

　　4、把50分成4個(gè)自然數(shù),使得第一個(gè)數(shù)乘以2等于第二個(gè)數(shù)除以2;第三個(gè)數(shù)加上2等于第四個(gè)數(shù)減去2,最多有______種分法.

　　(1990年《小學(xué)生報(bào)》小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

　　講析:設(shè)50分成的4個(gè)自然數(shù)分別是a,b,c,d.

　　因?yàn)閍×2=b÷2,則b=4a.所以a,b之和必是5的倍數(shù).

　　那么,a與b的和是5,10,15,20,25,30,35,40,45.

　　又因?yàn)閏+2=d-2,即d=c+4.所以c,d之和加上4之后,必是2的倍數(shù).

　　則c,d可取的數(shù)組有:

　　(40,10),(30,20),(20,30),(10,40).

　　由于40÷5=8,40-8=32;(10-4)÷2=3,10-3=7,

　　得出符合條件的a,b,c,d一組為(8,32,3,7).

　　同理得出另外三組為:(6,24,8,12),(4,16,13,17),(2,8,18,22).

　　所以,最多有4種分法.

　　5、把945寫(xiě)成連續(xù)自然數(shù)相加的形式,有多少種

　　(第一屆"新苗杯"小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

　　講析:因?yàn)?45=35×5×7,它共有(5+1)×(1+1)×(1+1)=16(個(gè))奇約數(shù).

　　所以,945共能分拆成16-1=15(種)不同形式的連續(xù)自然數(shù)之和.

　　 5、幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,和能等于1991嗎 如果能,有幾種不同的答案 寫(xiě)出這些答案;如果不能,說(shuō)明理由.

　　(全國(guó)第五屆《從小愛(ài)數(shù)學(xué)》邀請(qǐng)賽試題)

　　講析:1991=11×181,它共有(1+1)×(1+1)=4(個(gè))奇約數(shù).

　　所以,1991可以分成幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,并且有3種答案.

　　由1991=1×1991得:

　　1991=995+996.

　　由1991=11×181得:

　　…+(80+101)

　　=80+81+……+100+101.

　　6、一道簡(jiǎn)單的問(wèn)題是：用1、＋、×、（）的運(yùn)算來(lái)分別表示23和27，哪個(gè)數(shù)用的1較少？要表達(dá)2008，最少要用多少個(gè)1？

　　我們先給出從1到15的表達(dá)式。

　　1=1,

　　2=1+1,

　　3=1+1+1,

　　4=(1+1)×(1+1)，

　　5=(1+1)×(1+1)+1,

　　6=(1+1)×(1+1+1),

　　7=(1+1)×(1+1+1)+1,

　　8=(1+1)×(1+1)×(1+1),

　　9=(1+1+1)×(1+1+1),

　　10=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1),

　　11=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1,

　　12=(1+1+1)×(1+1)×(1+1),

　　13=(1+1+1)×(1+1)×(1+1)+1,

　　14=  (1+1)×((1+1)×(1+1+1)+1),

　　15= (1+1+1)×((1+1)×(1+1)+1)。

　　把用1的個(gè)數(shù)寫(xiě)成數(shù)列，就是{1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 7, 8, 8, 8, ...}。

　　對(duì)于23，

　　23 = (1+1)×((1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1)+1，

　　1的個(gè)數(shù)為11。

　　對(duì)于27，

　　27 = (1+1+1) × (1+1+1) × (1+1+1)

　　1的個(gè)數(shù)為9。

　　對(duì)于2008這樣的大數(shù)，要尋找表達(dá)式很困難。

　　我找到的表達(dá)式是

　　(((1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1=2008

　　一共用了24個(gè)1，但是不是用了最少的1，證明起來(lái)有一定難度。

　　7、下面這道題出自斯坦福大學(xué)入學(xué)考試題。

　　有一天非常熱，四對(duì)夫婦共飲了44瓶可樂(lè)。女士安喝了2瓶，貝蒂喝了3瓶，卡羅爾喝了4瓶，多蘿西喝了5瓶。布朗先生和他的妻子喝得一樣多，但是其他三位男士都比各自的妻子喝得多：格林先生是其妻的兩倍，懷特先生是三倍，史密斯先生是四倍。請(qǐng)說(shuō)出四位女士的姓。

　　在美國(guó)，妻子與丈夫同姓。解決本題的方法之一是解不定方程。下面我們換一種方法，就是整數(shù)的拆分。

　　44瓶可樂(lè)，減去女士已經(jīng)喝掉的14瓶，還剩30瓶。先按照每個(gè)男士和女士喝得一樣多，再減掉男士喝掉的14瓶，還剩16瓶。本題的實(shí)質(zhì)是把16拆分成2、3、4、5中的某3個(gè)數(shù)的1、2、3。倍之和。

　　顯然，5或者4的3倍加上2、3會(huì)超過(guò)16，3的3倍也不行，只有2的3倍是一個(gè)可行的數(shù)。

　　16去掉6后還剩下10。也就是要把10拆分成3、4、5中某2個(gè)數(shù)的1、2倍之和，結(jié)果就是2個(gè)3和1個(gè)4。

　　最后，我們得到的答案是

　　44=2＋3＋4＋5＋4×2＋3×3＋2×4＋1×5。

　　和題目描述的對(duì)比一下，就可以知道四位女士的姓名了：安·史密斯，貝蒂·懷特，卡羅爾·格林，多蘿西·布朗。

　　用整數(shù)的拆分方法來(lái)解整數(shù)方程，也是一條好途徑。

　　8、子女的年齡

　　題目的描述是這樣的：一個(gè)經(jīng)理有3個(gè)女兒，3個(gè)女兒的年齡加起來(lái)等于13，3個(gè)女兒的年齡乘起來(lái)等于經(jīng)理自己的年齡，有1個(gè)下屬已知道經(jīng)理的年齡，但仍不能確定經(jīng)理3個(gè)女兒的年齡，這時(shí)經(jīng)理說(shuō)只有1個(gè)女兒的頭發(fā)是黑的，然后這個(gè)下屬就知道了經(jīng)理3個(gè)女兒的年齡。請(qǐng)問(wèn)三個(gè)女兒的年齡分別是多少？為什么？

　　題目也可能變?yōu)椋簝蓚�(gè)俄國(guó)數(shù)學(xué)家在飛機(jī)相遇。伊凡問(wèn)：如果我沒(méi)有記錯(cuò)的話，你有3個(gè)兒子，他們都多大了？艾格回答：他們的年齡乘積是36，年齡之和是今天的日期。伊凡思考了一分鐘后，說(shuō)：可是你并沒(méi)有告訴我你兒子的歲數(shù)。艾格說(shuō)：忘了告訴你，我小兒子的頭發(fā)是紅色的。伊凡回答：那就很清楚了，我知道你兒子的歲數(shù)了。伊凡是怎么知道艾格兒子們的歲數(shù)的？

　　這道題也很經(jīng)典，難度不算太大，經(jīng)常改頭換面地出現(xiàn)在各類趣味數(shù)學(xué)書(shū)本中。因?yàn)榻忸}過(guò)程不需要高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，只涉及簡(jiǎn)單的加數(shù)拆分和因素分解，但要求縝密的邏輯性和足夠的耐心。

　　我們把這些都列成表。在女兒猜數(shù)中，出現(xiàn)了兩個(gè)相同的乘積36，導(dǎo)致判斷困難，因此可以斷定父親的年齡為36；由于只有一個(gè)女兒的頭發(fā)是黑的，去掉了兩個(gè)小女兒同為2歲的可能性，結(jié)果因此就出來(lái)了，女兒的歲數(shù)分別是1、6、6。在兒子的猜數(shù)中，出現(xiàn)了2個(gè)相同的和13，導(dǎo)致了判斷困難。由于只有一個(gè)兒子的頭發(fā)是紅的，排除了兩個(gè)兒子同為2歲的可能性，因此結(jié)果也是三個(gè)兒子分別為1、6、6歲，當(dāng)天日期為本月的13日。

　　8、從不知道到知道

　　有兩個(gè)非常好的邏輯學(xué)家朋友P和S。他們?cè)诓聝蓚�(gè)整數(shù)x、y.。已知1<x<y<99且x+y<100。P知道x與y的乘積，S知道x與y的和。

　　P說(shuō)：我不知道這兩個(gè)數(shù)。

　　S說(shuō)：我知道你不知道。

　　P說(shuō)：我知道了這兩個(gè)數(shù)。

　　S說(shuō)：我也知道了。

　　根據(jù)兩人的對(duì)話，你能判斷x與y到底是多少嗎？

　　這是一道更加經(jīng)典同時(shí)難度更大的趣味數(shù)學(xué)題，是精品中的精品。我們就來(lái)慢慢分析整個(gè)思維過(guò)程吧。

　　首先，兩個(gè)乘數(shù)因子不能是兩個(gè)不同素?cái)?shù)的乘積，不然P就一定能知道兩個(gè)數(shù)是多少。

　　我們先列出100以內(nèi)所有的素?cái)?shù)，2,3,5,7,11,13, 17,19,23,29,31,   37,   41,   43,   47,   53,   59,   61,   67,   71,    73,   79,   83,   89,   97。

　　我們可以用一個(gè)數(shù)表列出所有兩個(gè)素?cái)?shù)的和，凡是在表中出現(xiàn)的和都不該是兩人要猜測(cè)的數(shù)的和。

　　于是，我們100以內(nèi)還剩下的和有11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、61、65、67、77、79、83、87、89、93、95、97。

　　34×17可以直接導(dǎo)出兩數(shù)之和51、38×19 可以直接導(dǎo)出兩數(shù)之和57，29×58可以直接導(dǎo)出兩數(shù)之和87，31×62可以直接導(dǎo)出兩數(shù)之和93，因此51、57、87、93可以排除。

　　由于53×6=106×2會(huì)導(dǎo)致兩數(shù)之和超過(guò)100，因此數(shù)59、61、65、67、77、79、83、89、95、97也被排除在外。

　　剩下的和數(shù)的數(shù)列就是11、17、23、27、29、35、37、41、47、53。

　　我們繼續(xù)進(jìn)行。

　　此數(shù)是11嗎？

　　因?yàn)?4=3×8、28=4×7，S知道和為11，卻無(wú)法斷定出P。

　　此數(shù)是23嗎？

　　76=4×19,112=16×7, S知道和為23，卻無(wú)法斷定出P。

　　同樣，可以排除29、35、37、41、47、51和53這些數(shù)字和。

　　現(xiàn)在輪到17了。

　　S=17=2+15，P=2×15=5×6，導(dǎo)出S=11，11在可能的和數(shù)之列，被排除。

　　S=17=6+11，P=6×11=2×33，導(dǎo)出S=35，35在可能的和數(shù)之列，被排除。

　　S=17=7+10，P=7×10=2×35，導(dǎo)出S=37，37在可能的和數(shù)之列，被排除。

　　S=17=8+9，P=8×9=3×24，導(dǎo)出S=27，27在可能的和數(shù)之列，被排除。

　　現(xiàn)在只剩下S=17=4+13，P=4×13=52=2×26，導(dǎo)出S=28，不在上述的和數(shù)之列。

　　答案露出水面，這兩個(gè)數(shù)是4和13。

　　簡(jiǎn)單的描述后面，是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫼头爆嵑Y選過(guò)程。出題者一定是真正的數(shù)學(xué)大師。然而，這道題到底源自何人，我不得而知。 

第二頁(yè)：練習(xí)題及精講9-15題