所謂天元術，就是一種用數(shù)學符號列方程的方法，“立天元一為某某”相當于今“設x為某某”是一致的。在中國，列方程的思想可追溯到漢代的《九章算術》，書中用文字敘述的方法建立了二次方程，但沒有明確的未知數(shù)概念。到唐代，王孝通已經(jīng)能列出三次方程，但仍是用文字敘述的，而且尚未掌握列方程的一般方法。經(jīng)過北宋賈憲、劉益等人的工作，求高次方程正根的問題基本解決了。隨著數(shù)學問題的日益復雜，迫切需要一種普遍的建立方程的方法，天元術便在北宋應運而生了、洞淵、石信道等都是天元術的先驅。但直到李冶之前，天元術還是比較幼稚的，記號混亂、復雜，演算煩瑣。例如李冶在東平(今山東省東平縣)得到的一本講天元術的算書中，還不懂得用統(tǒng)一符號表示未知數(shù)的不同次冪，它“以十九字識其上下層，曰仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼。”這就是說，以“人”字表示常數(shù)，人以上九字表示未知數(shù)的各正數(shù)次冪(最高為九次)，入以下九字表示未知數(shù)的各負數(shù)次冪(最低也是九次)，其運算之繁可見一斑。從稍早于《測圓海鏡》的《鈴經(jīng)》等書來看，天元術的作用還十分有限。李冶則在前人的基礎上，將天元術改進成一種更簡便而實用的方法。當時，北方出了不少算書，除《鈴經(jīng)》外，還有《照膽》、《如積釋鎖》、《復軌》等，這無疑為李冶的數(shù)學研究提供了條件。特別值得一提的是，他在桐川得到了洞淵的一部算書，內(nèi)有九客之說，專講勾股容圓問題。此書對他啟發(fā)甚大。為了能全面、深入地研究天元術，李冶把勾股容圓(即切圓)問題作為一個系統(tǒng)來研究。他討論了在各種條件下用天元術求圓徑的問題，寫成《測圓海鏡》十二卷，這是他一生中的最大成就。

　　《測圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內(nèi)切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式。卷一的“識別雜記”闡明了圓城圖式中各勾股形邊長之間的關系以及它們與圓徑的關系，共六百余條，每條可看作一個定理(或公式)，這部分內(nèi)容是對中國古代關于勾股容圓問題的總結。后面各卷的習題，都可以在“識別雜記”的基礎上以天元術為工具推導出來。李冶總結出一套簡明實用的天元術程序，并給出化分式方程為整式方程的方法。他發(fā)明了負號和一套先進的小數(shù)記法，采用了從零到九的完整數(shù)碼。除O以外的數(shù)碼古已有之，是籌式的反映。但籌式中遇O空位，沒有符號O。從現(xiàn)存古算書來看，李冶的《測圓海鏡》和秦九韶《數(shù)書九章》是較早使用O的兩本書，它們成書的時間相差不過一年�！稖y圓海鏡》重在列方程，對方程的解法涉及不多。但書中用天元術導出許多高次方程(最高為六次)，給出的根全部準確無誤，可見李冶是掌握高次方程數(shù)值解法的。

　　《測圓海鏡》的成書標志著天元術成熟，它無疑是當時世界上第一流的數(shù)學著作。但由于內(nèi)容較深，粗知數(shù)學的人看不懂。而且當時數(shù)學不受重視，所以天元術的傳播速度較慢。李冶清楚地看到這一點，他堅信天元術是解決數(shù)學問題的一個有力工具，同時深刻認識到普及天元術的必要性。他在結束避難生活、回元氏縣定居以后，許多人跟他學數(shù)學，促使他寫一本深入淺出、便于教學的書，《益古演段》便是在這種情況下寫成的�！稖y困海鏡》的研究對象是離生活較遠而自成系統(tǒng)的圓城圖式，《益古演段》則把天元術用于解決實際問題，研究對象是日常所見的方、圓面積。李冶大概認識到，天元術是從幾何中產(chǎn)生的。因此，為了使人們理解天元術，就需回顧它與幾何的關系，給代數(shù)以幾何解釋，而對二次方程進行幾何解釋是最方便的，于是便選擇了以二次方程為主要內(nèi)容的《益古集》(11世紀蔣周撰)。正如《四庫全書·益古演段提要》所說：“此法(指天元術)雖為諸法之根，然神明變化，不可端倪，學者驟欲通之，茫無門徑之可入。惟因方圓冪積以明之，其理尤屆易見。”李冶是很樂于作這種普及工作的，他在序言中說：“使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉！”

　　《益古演段》的價值不僅在于普及天元術，理論上也有創(chuàng)新首先，李冶善于用傳統(tǒng)的出入相補原理及各種等量關系來減少題目中的未知數(shù)個數(shù)，化多元問題為一元問題。其次，李冶在解方程時采用了設輔助未知數(shù)的新方法，以簡化運算。