劉徽創(chuàng)立的割圓術

　　圓周率是對圓形和球體進行數(shù)學分析時不可缺少的一個常數(shù)，各國古代科學家均將圓周率作為一個重要課題。我國最早采用的圓周率數(shù)值為三，即所謂“徑一周三”。《九章算術》中就采用了這個數(shù)據(jù)，“方田”中有這樣一個問題“今有圓田，周三十步，徑十步，問田有幾何？”很顯然，這個數(shù)值不能滿足精確計算的要求。漢代一些數(shù)學家已發(fā)現(xiàn)了這一問題，并在實際應用時采用多種圓周率數(shù)值。經過他們的努力，數(shù)值精確度雖有提高，但大多是經驗成果，缺少理論基礎。

　　圓周率計算上的有所突破，有賴于有效方法的誕生，這種方法就是割圓術。劉徽經過深入研究，他發(fā)現(xiàn)圓內接正多邊形邊數(shù)無限增加時，多邊形周長可無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立了“割圓術”。

　　割圓術的主要內容是：一、在圓內作內接正六邊形，每邊邊長均等于半徑；再作正十二邊形，從勾股定理出發(fā)，求得正十二邊形的邊長，如此類推，從內接n邊形的邊長可推知內接2n邊形的邊長。二、從圓內接正n邊形每邊邊長，可求得內接2n邊形的面積。如圖正十二邊形的一部分（四邊形OADB）的面積，等于正六邊形邊長AB乘以半徑OD的一半，這樣，即使邊數(shù)極多的內接正多邊形面積也可以一步步求解。三、圓的面積介于兩個可求得的值之間。

　　依據(jù)極限觀念，劉徽指出：隨著圓內接正多邊形邊數(shù)的增加，它的周長和面積越來越接近圓周長和圓面積，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。將這種極限思想和上述不等式結合起來，通過不斷增加多邊形邊數(shù)，就可以從不足近似值和過剩近似值兩個方面逼近圓周率的真值。這兩個數(shù)據(jù)的精確度是當時世界上前所未有的。

　　與劉徽類似的是，古希臘的阿基米德也用正多邊形法去求圓周率。但是阿基米德是用歸謬法證得這一結果的，避開了極限概念，而劉徽卻大膽地應用了以直代曲、無限趨近的思想方法；且阿基米德的方法需另外計算圓外切正多邊形面積，劉徽的方法則只需求內接正多邊形面積。與阿基米德比，劉徽的割圓術可謂事半功倍。