部分也能等于整體嗎

　　在一個大盒子里，裝著黑白兩種顏色的許多圍棋棋子，怎么才能知道哪種顏色的棋子多一些呢? 一種辦法是分別數(shù)出它們的個數(shù)，進行比較；另一種辦法是，每次同時取出一黑一白兩種棋子，一直取下去，如果最后只剩下某種顏色的棋子，就說明這種顏色的棋子多，如果剛好取完，就說明兩種顏色的一樣多。

　　但是，假如那個大盒子里裝著無窮多個棋子，那就沒有辦法把兩種顏色的棋子分別數(shù)出個數(shù)來、再比較多少了，因為，至少有一種顏色的棋子是無窮多的。但是后一種辦法卻仍然可以使用：如果取了若干次之后，盒子里只剩下某一種顏色的棋子，就可知道這種顏色的棋子多，而且是多得多了。如果拿出一個黑的，總能再拿出一個白的；拿出一個白的，也總能再拿出一個黑的，就說明它們是同樣多的。

　　整體大于部分，這是一條古老而又令人感到無可置疑的真理。把一個蘋果切成三塊，原來的整個蘋果當(dāng)然大于切開后的任何一塊。但這僅僅是對數(shù)量有限的物品而言的。17世紀(jì)的大科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)，當(dāng)涉及到無窮多個物品時，情況可就大不一樣了。

　　比如有人問你：整數(shù)和偶數(shù)哪一種數(shù)多呢？也許你會認(rèn)為：當(dāng)然是整數(shù)比偶數(shù)多，而且是多一倍。如果從1 數(shù)到100，那么就有100個整數(shù)，而其中只有50個偶數(shù)。那要是無窮多個整數(shù)和偶數(shù)呢？我們可以用“一一對應(yīng)”的方法來比較一下：

　　……－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6……

　　……－6，－4，－2，0，2，4，6，8，10，12……

　　對于每一個整數(shù)，我們可以找到一個偶數(shù)和它對應(yīng)，反過來對于每一個偶數(shù)我們又一定可以找到一個整數(shù)和它對應(yīng)，這就是整數(shù)和偶數(shù)是一一對應(yīng)的，也就是說整數(shù)和偶數(shù)是一樣多的。

　　為什么會得出這樣的結(jié)論呢？這是因為我們現(xiàn)在討論的整數(shù)和偶數(shù)是無限多的，在無限的情況下，整體可能等于部分。

　　在這一思想的啟發(fā)下，19世紀(jì)后期德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論。它揭示出：部分可以和整體之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，這正是含有無窮多個元素的集合的本質(zhì)屬性之一。它也告訴人們：不要隨便地把在有限的情形下得到的定理應(yīng)用到無限的情形中去。