小學(xué)數(shù)學(xué)文化：不合邏輯

　　“不合邏輯”是各種數(shù)學(xué)悖論的來源。你能想一個(gè)命題，使得它和它的否定形式同時(shí)成立嗎？令人難以置信的是，這樣的命題真的存在。“這句話是七字句”就是這樣一種奇怪的命題。它的否定形式是“這句話不是七字句”，同樣是成立的。你肯定會(huì)大叫“賴皮”，命題的真假與這個(gè)命題本身的形式有關(guān)，這樣的命題算數(shù)學(xué)命題嗎？沒錯(cuò)，這些涉及到自己的命題都叫做“自我指涉命題”，它們的出現(xiàn)會(huì)引發(fā)很多令人頭疼的問題。從說謊者悖論（Liarparadox）到羅素悖論（Russell‘sparadox），各種邏輯悖論的產(chǎn)生根源幾乎都是自我指涉。數(shù)理邏輯中的不合邏輯遍地都是，它們直接引發(fā)了數(shù)學(xué)的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

　　歐拉不合邏輯的證明法

　　在數(shù)學(xué)，很多漂亮的定理最初的證明都是錯(cuò)誤的。最典型的例子可能就是1735年大數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）的“證明”了。他曾經(jīng)仔細(xì)研究過所有完全平方數(shù)的倒數(shù)和的極限值，并且給出了一個(gè)漂亮的解答：這是一個(gè)出人意料的答案，圓周率π毫無征兆地出現(xiàn)在了與幾何完全沒有關(guān)系的場合中。歐拉的證明另辟蹊徑，采用了一種常人完全想不到的絕妙方法。他根據(jù)方程sin(x)/x=0的解，對(duì)sin(x)/x的級(jí)數(shù)展開進(jìn)行因式分解，再利用對(duì)比系數(shù)的方法神奇地得到了問題的答案。不過，利用方程的解進(jìn)行因式分解的方法只適用于有限多項(xiàng)式，在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)背景下，這種方法不能直接套用到無窮級(jí)數(shù)上。雖然如此，歐拉利用這種不嚴(yán)格的類比，卻得出了正確的結(jié)果。